Considere uma partícula sob o campo de escoamento dado por V=A x imath-B y jmath, onde A=B=1 s^-1. As coordenadas x e y são em metros. Mostre o movimento da partícula é descrita por xp=c1 e^A t e yp=c2 e^-B t. Obtenha uma expressão para a linha de trajetória que passa por (1,2) em t=0 s. Compare a linha de trajetória e a linha de corrente que passa pelo mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica dos fluidos onde uma partícula está se movendo num campo de escoamento descrito pela velocidade V = A x imath - B y jmath. Aqui, A e B são constantes iguais a 1 , s^-1, e x e y são as coordenadas em metros. Nosso objetivo é mostrar que o movimento da partícula pode ser descrito por xp = c1 e^At e yp = c2 e^-Bt, além de encontrar a expressão da trajetória que passa pelo ponto (1, 2) no tempo t = 0 s e comparar essa trajetória com a linha de corrente que também passa por esse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação da velocidade está nos dizendo. A velocidade da partícula depende da posição x e y. Para encontrar as equações de movimento xp(t) e yp(t), precisamos resolver as equações diferenciais que relacionam a velocidade com a posição.

Passo 3

A velocidade na direção x é dada por Vx = A x. Isso significa que a taxa de variação de x em relação ao tempo é proporcional a x mesmo. Matematicamente, temos:
dxdt = A x
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis.

Passo 4

Vamos resolver dxdt = A x. Separando as variáveis:
dxx = A dt
Integrando ambos os lados:
ln|x| = A t + C1
Onde C1 é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para x:
x = c1 e^A t
Aqui, c1 = e^C1 é uma nova constante.

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para a direção y. A velocidade na direção y é Vy = -B y, então:
dydt = -B y
Novamente, separando as variáveis:
dyy = -B dt
Integrando ambos os lados:
ln|y| = -B t + C2
Exponenciando:
y = c2 e^-B t
Onde c2 = e^C2 é outra constante de integração.

Passo 6

Então, chegamos às soluções das equações de movimento:
xp = c1 e^A t
yp = c2 e^-B t
Essas expressões mostram como as coordenadas x e y da partícula evoluem com o tempo.

Passo 7

Agora, queremos determinar as constantes c1 e c2 usando as condições iniciais. Sabemos que no tempo t = 0 s, a partícula está no ponto (1, 2). Então:
x(0) = c1 e^A cdot 0 = c1 = 1
y(0) = c2 e^-B cdot 0 = c2 = 2
Portanto, c1 = 1 e c2 = 2.

Passo 8

Substituindo os valores de c1 e c2 nas equações de movimento, temos:
xp = e^A t
yp = 2 e^-B t
Como A = B = 1 , s^-1, simplificamos para:
xp = e^t
yp = 2 e^-t

Passo 9

Para encontrar a expressão da trajetória, queremos relacionar y diretamente com x, eliminando o tempo t. Usando a equação de xp:
t = ln(x)
Substituindo na equação de yp:
y = 2 e^-ln(x) = 2 cdot 1x = 2x
Então, a equação da trajetória é:
y = 2x

Passo 10

Agora, vamos comparar a trajetória com a linha de corrente. A linha de corrente para esse campo de velocidade é obtida resolvendo dydx = VyVx = -B yA x = -yx. Resolvendo essa equação:
dyy = -dxx
Integrando:
ln|y| = -ln|x| + C
Exponentiando:
y = cx
Usando o ponto (1, 2):
2 = c1 Rightarrow c = 2
Então, a linha de corrente também é:
y = 2x

Resposta

A trajetória da partícula que passa pelo ponto (1, 2) em t = 0 s é descrita por y = 2x. Além disso, a linha de trajetória coincide com a linha de corrente nesse ponto, ambas dadas pela equação y = 2x.

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