Considere uma partícula sob o campo de escoamento dado por
, onde
. As coordenadas x e y são em metros. Mostre o movimento da partícula é descrita por
e
. Obtenha uma expressão para a linha de trajetória que passa por
em
. Compare a linha de trajetória e a linha de corrente que passa pelo mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de mecânica dos fluidos onde uma partícula está se movendo num campo de escoamento descrito pela velocidade
. Aqui,
e
são constantes iguais a
, e
e
são as coordenadas em metros. Nosso objetivo é mostrar que o movimento da partícula pode ser descrito por
e
, além de encontrar a expressão da trajetória que passa pelo ponto
no tempo
s e comparar essa trajetória com a linha de corrente que também passa por esse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação da velocidade está nos dizendo. A velocidade da partícula depende da posição
e
. Para encontrar as equações de movimento
e
, precisamos resolver as equações diferenciais que relacionam a velocidade com a posição.
Passo 3
A velocidade na direção
é dada por
. Isso significa que a taxa de variação de
em relação ao tempo é proporcional a
mesmo. Matematicamente, temos:
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis.
Passo 4
Vamos resolver
. Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Aqui,
é uma nova constante.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para a direção
. A velocidade na direção
é
, então:
Novamente, separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Então, chegamos às soluções das equações de movimento:
Essas expressões mostram como as coordenadas
e
da partícula evoluem com o tempo.
Passo 7
Agora, queremos determinar as constantes
e
usando as condições iniciais. Sabemos que no tempo
s, a partícula está no ponto
. Então:
Portanto,
e
.
Passo 8
Substituindo os valores de
e
nas equações de movimento, temos:
Como
, simplificamos para:
Passo 9
Para encontrar a expressão da trajetória, queremos relacionar
diretamente com
, eliminando o tempo
. Usando a equação de
:
Substituindo na equação de
:
Então, a equação da trajetória é:
Passo 10
Agora, vamos comparar a trajetória com a linha de corrente. A linha de corrente para esse campo de velocidade é obtida resolvendo
. Resolvendo essa equação:
Integrando:
Exponentiando:
Usando o ponto
:
Então, a linha de corrente também é:
Resposta
A trajetória da partícula que passa pelo ponto
em
s é descrita por
. Além disso, a linha de trajetória coincide com a linha de corrente nesse ponto, ambas dadas pela equação
.