Um campo de velocidade bidimensional, estacionário e incompressível é dado por
, onde as coordenadas x e y estão em metros e a magnitude da velocidade está em
. Um ponto de estagnação é definido como um ponto no campo de escoamento onde a velocidade é identicamente zero. (a) Determine se há muitos pontos de estagnação neste campo de fluxo e, se houver, onde? (b) Esboce vetores de velocidade em vários locais no domínio entre
a 2 m e
a 5 m .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de velocidade bidimensional, que é tipo uma representação de como o fluido está se movendo em cada ponto do espaço. O exercício pede para a gente:
(a) Ver se existem pontos onde a velocidade é zero, chamados pontos de estagnação, e descobrir onde eles estão.
(b) Fazer um esboço dos vetores de velocidade numa área específica.
Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com componentes de velocidade e encontrar onde ambas as componentes (u e v) são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte (a) do exercício. Temos as componentes da velocidade dadas por:
Um ponto de estagnação ocorre onde a velocidade total é zero, ou seja, onde $ u = 0 $ e $ v = 0 $. Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos começar resolvendo $ u = 0 $:
Para encontrar $ x $:
Agora, resolvendo $ v = 0 $:
Para encontrar $ y $:
Passo 4
Então, o único ponto onde $ u = 0 $ e $ v = 0 $ simultaneamente é:
Isso significa que há um único ponto de estagnação nesse campo de fluxo.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos esboçar vetores de velocidade no domínio onde $ x $ varia de -2 m a 2 m e $ y $ varia de 0 m a 5 m.
Para fazer isso, podemos calcular alguns valores de $ u $ e $ v $ para diferentes pontos dentro desse intervalo e desenhar os vetores correspondentes. Por exemplo:
-
Para $ x = -2 , m $:Dependendo do valor de $ y $, $ v $ varia.
-
Para $ y = 0 , m $:Isso também varia com $ x $.
Você repetiria esse processo para vários valores de $ x $ e $ y $ dentro dos intervalos dados e desenharia setas representando os vetores $ \vec{V} = (u, v) $ em cada ponto.
Resposta
(a) Existe um único ponto de estagnação no campo de fluxo, localizado em $ (x, y) = (-0,625 , m, , 1,875 , m) $.