Em referência ao Problema 4. Em
, a partícula está em um estado descrito por uma combinação linear dos dois estados estacionários de mais baixa energia:
(a) Calcule a função de onda
e o valor médio dos operadores
e
como função do tempo.
(b) Verifique o teorema de Ehrenfest,
.
(b) Verifique o teorema de Ehrenfest,
Passo 1
O enunciado dá que, no instante
, a partícula está no estado
com
. O conteúdo envolve:
– Evolução temporal em Mecânica Quântica de uma superposição de autoestados de energia.
– Cálculo de valores médios de e
.
– Verificação do teorema de Ehrenfest .
– Evolução temporal em Mecânica Quântica de uma superposição de autoestados de energia.
– Cálculo de valores médios de
– Verificação do teorema de Ehrenfest
Passo 2
Pela regra geral de evolução temporal, cada autoestado de energia
adquire fator de fase
. Logo
Passo 3
O valor médio de
é
Expandindo em autostados e usando ortonormalidade, só sobrevivem termos diagonais e cruzados:
onde definimos
,
,
e .
e
Passo 4
O valor médio de
é
De modo análogo obtemos apenas termos cruzados, que introduzem
O resultado é
Passo 5
Para verificar Ehrenfest, usamos a identidade geral de elementos de matriz
que vem de
. Substituindo em
e comparando com
,
vemos que
vemos que
Portanto o teorema de Ehrenfest está satisfeito.
Resposta
(a)
(b) Verificou-se explicitamente que
.