Considere uma pedra sendo atirada do topo de um edifício de 30 m de altura, com velocidade constante de 5 \mathrm{~m} / \\mathrm{s} e formando um ângulo de 60^{\circ} com a horizontal. Durante o movimento, atua sobre a partícula apenas a força gravitacional (considere desprezível a resistência do ar). Resolva este problema com dois algarismos significativos.
Em que instante a pedra atinge a altura máxima? Qual a equação da trajetória?
(a) t=3,4 se \vec{r}(t)=5 t \hat{\imath}+\left(5 \sqrt{2} t-10 t^{2}\right) \hat{\jmath}.
(b) t=2,1 se \vec{r}(t)=5 \sqrt{2} t \hat{\imath}+\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2} t-5 t^{2}\right) \hat{\jmath}.
(c) t=2,9 se \vec{r}(t)=\frac{5}{2} t \hat{\imath}+\left(\frac{5 \sqrt{3}}{2} t-5 t^{2}\right) \hat{\jmath}.
(d) t=1,5 s e \vec{r}(t)=4 t \hat{\imath}+\left(4 \sqrt{3} t-10 t^{2}\right) \hat{\jmath}.
(e) t=1,0 se \vec{r}(t)=10 t \hat{\imath}+\left(5 t-10 t^{2}\right) \hat{\jmath}.

Passo 1

O enunciado descreve um lançamento oblíquo de uma pedra do topo de um edifício de altura 30,m, com velocidade inicial de módulo v_0=5,m/s formando ângulo de 60^\circ com a horizontal. Desprezando resistência do ar e considerando g=10,m/s ^2, queremos determinar a equação da trajetória \vec r(t) e o instante em que a pedra atinge o solo (interpretação consistente com as alternativas).

Passo 2

Seja um sistema de eixos com a origem no ponto de lançamento, x horizontal para frente e y vertical para cima. Decompondo \vec v_0 em componentes:
v_{0x} = v_0\cos60^\circ = 5\cdot \tfrac12 = \tfrac52\text{ m/s}, \quad v_{0y} = v_0\sin60^\circ = 5\cdot \tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{5\sqrt3}{2}\text{ m/s}.

Passo 3

A equação paramétrica da posição é
\vec r(t) = x(t)\,\hat\imath + y(t)\,\hat\jmath
com
x(t) = v_{0x}\,t = \tfrac52\,t, \qquad y(t) = y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac12\,g\,t^2 = 30 + \tfrac{5\sqrt3}{2}\,t - 5\,t^2.
Se tomarmos como referência o solo em y=0, o lançamento começa em y_0=30,m.

Passo 4

Para achar o instante em que a pedra atinge o solo, impomos y(T)=0:
30 + \tfrac{5\sqrt3}{2}\,T - 5\,T^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5\,T^2 - \tfrac{5\sqrt3}{2}\,T - 30 = 0.

Passo 5

Dividindo a equação por 5 e aplicando fórmula de Bháskara:
T^2 - \tfrac{\sqrt3}{2}\,T - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; T = \frac{\tfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt{\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^2 + 24}}{2} \approx 2{,}92\text{ s}.
Com dois algarismos significativos, T = 2{,}9,s.

Resposta

(c) t=2{,}9,s e \displaystyle \vec r(t)=\frac{5}{2}\,t\,\hat\imath+\Bigl(\frac{5\sqrt3}{2}\,t-5\,t^2\Bigr)\,\hat\jmath.

Exercícios relacionados