Considere um pêndulo, consistindo de uma massa de 10 g , que está suspenso por uma corda de 10 cm de comprimento. Admita que seja feita a amplitude de sua oscilação tal que a corda em suas posições extremas descreva um ângulo de 0,1 rad com a vertical. A energia do pêndulo diminui, por exemplo, devido a efeitos de atrito. A diminuição de energia observada é contínua ou descontínua?

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo de massa m=10 g=0,01 kg e comprimento L=10 cm=0,1 m, numa oscilação de amplitude theta0=0,1 rad. Pergunta se a energia mecânica do pêndulo, ao ser dissipada por forças de atrito, decresce de forma contínua ou descontínua. O conteúdo é energia de oscilador harmônico amortecido e trabalho de forças dissipativas.

Passo 2

Em pequenas oscilações ( thetall1), o pêndulo é equivalente a um oscilador harmônico de constante elástica efetiva
krm eff = mgL
e energia total
E(t)=12m v^2+12,krm effL^2theta^2
Sem atrito essa energia oscila, mas se houver atrito, haverá força de dissipação Fd que realiza trabalho continuamente.

Passo 3

Para uma força dissipativa típica (por exemplo, resistência viscosa Fd = -b,v), o ritmo de variação da energia é dado por
dEdt = Fdcdot v = -b,v^2
Como v(t) é função contínua do tempo, v^2(t) também é contínua, logo dEdt é contínuo e negativo em cada instante.

Passo 4

Integrando dEdt=-b,v^2(t) ao longo do tempo, obtém-se um decaimento suave e contínuo da energia. Num modelo linear de amortecimento, chega-se a
E(t)=E0,e^-gamma t,
onde gamma=b/m, o que evidencia decaimento contínuo.

Resposta

A energia diminui de forma contínua, pois o trabalho das forças de atrito é realizado em todos os instantes de modo suave, conduzindo a um decaimento contínuo de E(t).

Exercícios relacionados