Considere um pêndulo, consistindo de uma massa de 10 g , que está suspenso por uma corda de 10 cm de comprimento. Admita que seja feita a amplitude de sua oscilação tal que a corda em suas posições extremas descreva um ângulo de
com a vertical. A energia do pêndulo diminui, por exemplo, devido a efeitos de atrito. A diminuição de energia observada é contínua ou descontínua?
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo de massa
e comprimento
, numa oscilação de amplitude
. Pergunta se a energia mecânica do pêndulo, ao ser dissipada por forças de atrito, decresce de forma contínua ou descontínua. O conteúdo é energia de oscilador harmônico amortecido e trabalho de forças dissipativas.
Passo 2
Em pequenas oscilações (
), o pêndulo é equivalente a um oscilador harmônico de constante elástica efetiva
e energia total
Sem atrito essa energia oscila, mas se houver atrito, haverá força de dissipação
que realiza trabalho continuamente.
Passo 3
Para uma força dissipativa típica (por exemplo, resistência viscosa
), o ritmo de variação da energia é dado por
Como
é função contínua do tempo,
também é contínua, logo
é contínuo e negativo em cada instante.
Passo 4
Integrando
ao longo do tempo, obtém-se um decaimento suave e contínuo da energia. Num modelo linear de amortecimento, chega-se a
onde
, o que evidencia decaimento contínuo.
Resposta
A energia diminui de forma contínua, pois o trabalho das forças de atrito é realizado em todos os instantes de modo suave, conduzindo a um decaimento contínuo de
.