Considere um pêndulo simples de comprimento l e massa m. O mesmo é elevado de um ângulo alpha em relação à vertical e solto partindo do repouso. Considere que não existe atrito.
(a) Encontre todas as forças que atuam sobre a partícula em um ângulo theta<alpha.
(b) Encontre o trabalho de cada força que atua sobre a partícula, do ponto mais alto ao ponto mais baixo da trajetória.
(c) Encontre a velocidade no ponto mais baixo da trajetória.
(d) Encontre a tensão na corda no ponto mais baixo da trajetória.

Passo 1

O enunciado trata de um pêndulo simples de massa m e comprimento l, deslocado até o ângulo alpha em relação à vertical e solto do repouso, sem atrito. Vamos primeiro identificar as forças atuantes em um ângulo genérico theta<alpha, depois calcular o trabalho de cada força do ponto mais alto ( theta=alpha) ao mais baixo ( theta=0), em seguida usar conservação de energia para achar a velocidade no fundo, e finalmente aplicar a Segunda Lei de Newton no referencial radial para determinar a tensão na corda no ponto mais baixo.

Passo 2

Em um ângulo genérico theta<alpha atuam sobre a massa duas forças fundamentais:
  1. A força peso, sempre vertical para baixo, vec Fg = m,vec g
  2. A tensão da corda, sempre dirigida ao longo da corda, apontando para o ponto de suspensão, vec T

Passo 3

Do ponto mais alto ( theta=alpha) ao ponto mais baixo ( theta=0):
  • A tensão é sempre perpendicular ao deslocamento (que é tangencial), logo seu trabalho é nulo: WT = 0
  • A gravidade realiza trabalho igual à variação de energia potencial gravitacional. A massa desce verticalmente uma altura De<a h = l,(1 - cosalpha), portanto Wg = m g,De<a h = m g,l,(1 - cosalpha)

Passo 4

Usando a conservação da energia mecânica entre o topo e o fundo:
underbrace0Ki + underbracem g,l,(1-cosalpha)Wg = underbracetfrac12 m v^2Kf
Logo,
tfrac12 m v^2 = m g,l,(1-cosalpha) Rightarrow v = raiz2 g,l,(1-cosalpha)

Passo 5

No ponto mais baixo, aplicamos a Segunda Lei de Newton na direção radial (sentido para o centro):
sum Fr = m,v^2l
As forças radiais são a tensão para dentro ( +T) e a componente radial do peso para fora (− m g), logo
T - m g = m,v^2l
Substituindo v^2 = 2 g,l,(1-cosalpha),
T = m g + m,2 g,l,(1-cosalpha)l = m g + 2 m g,(1-cosalpha) = m g,(3 - 2cosalpha)

Resposta

(a) As forças são
vec Fg = m,vec g e vec T.
(b)
WT = 0,
Wg = m g,l,(1 - cosalpha).
(c)
v = raiz2 g,l,(1 - cosalpha).
(d)
T = m g,(3 - 2cosalpha).

Exercícios relacionados