Considere um pêndulo simples de comprimento e massa . O mesmo é elevado de um ângulo em relação à vertical e solto partindo do repouso. Considere que não existe atrito.
(a) Encontre todas as forças que atuam sobre a partícula em um ângulo .
(b) Encontre o trabalho de cada força que atua sobre a partícula, do ponto mais alto ao ponto mais baixo da trajetória.
(c) Encontre a velocidade no ponto mais baixo da trajetória.
(d) Encontre a tensão na corda no ponto mais baixo da trajetória.
Passo 1
O enunciado trata de um pêndulo simples de massa e comprimento , deslocado até o ângulo em relação à vertical e solto do repouso, sem atrito. Vamos primeiro identificar as forças atuantes em um ângulo genérico , depois calcular o trabalho de cada força do ponto mais alto () ao mais baixo (), em seguida usar conservação de energia para achar a velocidade no fundo, e finalmente aplicar a Segunda Lei de Newton no referencial radial para determinar a tensão na corda no ponto mais baixo.
Passo 2
Em um ângulo genérico atuam sobre a massa duas forças fundamentais:
A força peso, sempre vertical para baixo,
A tensão da corda, sempre dirigida ao longo da corda, apontando para o ponto de suspensão,
Passo 3
Do ponto mais alto () ao ponto mais baixo ():
A tensão é sempre perpendicular ao deslocamento (que é tangencial), logo seu trabalho é nulo:
A gravidade realiza trabalho igual à variação de energia potencial gravitacional. A massa desce verticalmente uma alturaportanto
Passo 4
Usando a conservação da energia mecânica entre o topo e o fundo:
Logo,
tfrac12 m v^2 = m g,l,(1-cosalpha) Rightarrow v = raiz2 g,l,(1-cosalpha)
Passo 5
No ponto mais baixo, aplicamos a Segunda Lei de Newton na direção radial (sentido para o centro):
sum Fr = m,v^2l
As forças radiais são a tensão para dentro (+T) e a componente radial do peso para fora (−m g), logo
T - m g = m,v^2l
Substituindo v^2 = 2 g,l,(1-cosalpha),
T = m g + m,2 g,l,(1-cosalpha)l = m g + 2 m g,(1-cosalpha) = m g,(3 - 2cosalpha)
Resposta
(a) As forças são vec Fg = m,vec g e vec T.
(b) WT = 0, Wg = m g,l,(1 - cosalpha).
(c) v = raiz2 g,l,(1 - cosalpha).
(d) T = m g,(3 - 2cosalpha).