Uma partícula de massa M é empurrada da base de uma rampa lisa, de inclinação alpha com a horizontal e com velocidade v subindo a rampa.
(a) Encontre todas as forças que atuam sobre a partícula.
(b) Encontre a altura máxima atingida pela partícula.
(c) Encontre o trabalho de cada força.
(d) Encontre o trabalho da força resultante.

Passo 1

O enunciado pede para uma partícula de massa M que sobe sem atrito uma rampa de inclinação alpha com velocidade inicial vec v:
– (a) identificar todas as forças atuantes;
– (b) calcular a altura máxima hmax que ela alcança;
– (c) calcular o trabalho de cada força;
– (d) calcular o trabalho da força resultante.
Vamos usar os conceitos de força peso, força normal e o teorema do trabalho-energia (ou conservação da energia mecânica no caso sem atrito).

Passo 2

As forças atuantes na partícula são:
  1. A força peso, que chamamos de vec P, apontando vertical para baixo, de módulo P = Mg.
  2. A força normal, que chamamos de vec N, perpendicular à superfície da rampa, sem componente ao longo do deslocamento.
Não há atrito nem outra força externa durante o movimento da base até o ponto de repouso.

Passo 3

Para achar a altura máxima, usamos o teorema do trabalho-energia: a variação de energia cinética é igual ao trabalho total das forças. No início a partícula tem
Ki = tfrac12 M v^2
e no ponto mais alto para momentaneamente,
Kf = 0
O único trabalho não nulo vem do peso, pois o normal não faz trabalho (é perpendicular ao deslocamento). Se hmax é a elevação vertical, então
WP = -Mg,hmax
e
De<a K = Kf - Ki = -tfrac12 M v^2 = WP
Logo,
-Mg,hmax = -tfrac12 M v^2 Longrightarrow hmax = v^22g

Passo 4

Agora o trabalho de cada força, percorrendo o trajeto da base até o ponto de repouso:
– Trabalho da normal:
WN = 0,
porque vec Nperp deslocamento.
– Trabalho do peso:
WP = vec Pcdotvec s = -Mg,hmax = -Mgcdotv^22g = -tfrac12 M v^2

Passo 5

O trabalho da força resultante Wres é a soma dos trabalhos individuais:
Wres = WN + WP = 0 + l(-tfrac12 M v^2r) = -tfrac12 M v^2
Isso também coincide com a variação total de energia cinética, De<a K = -tfrac12 M v^2.

Resposta

(a) As forças são
vec P (peso, vertical para baixo)
e vec N (normal, perpendicular à rampa).
(b)
hmax = v^22g
(c)
WN = 0, WP = -12 M v^2
(d)
Wres = -12 M v^2

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