Uma partícula de massa
executa um M.H.S sob a ação de uma mola de constante
, livre de atrito e sobre um plano horizontal. No instante
, a partícula passa pela posição em que a mola está relaxada com uma velocidade de
positiva.
(a) Encontre a equação de movimento e a posição como função do tempo.
(b) Encontre a frequência das oscilações e a amplitude do movimento.
(c) Encontre a Energia mecânica como função do tempo e construa seu gráfico.
(d) Encontre a relação entre o momento linear e a posição e esboce seu gráfico.
(a) Encontre a equação de movimento e a posição como função do tempo.
(b) Encontre a frequência das oscilações e a amplitude do movimento.
(c) Encontre a Energia mecânica como função do tempo e construa seu gráfico.
(d) Encontre a relação entre o momento linear e a posição e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá uma massa e uma mola e pede várias coisas. Vou listar clarinho o que foi dado e o que precisamos encontrar para não se perder:
- Dados fornecidos:
, . No instante a partícula passa pela posição em que a mola está relaxada, ou seja , com velocidade . - Perguntas do enunciado:
(a) Encontrar a equação de movimento (a EDO) e a posiçãocomo função do tempo.
(b) Encontrar a frequência das oscilações e a amplitude do movimento.
(c) Encontrar a energia mecânica como função do tempo e esboçar/descrever seu gráfico.
(d) Encontrar a relação entre o momento lineare a posição e esboçar/descrever seu gráfico.
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento: a mola exerce uma força restauradora dada pela Lei de Hooke
(direção contrária ao deslocamento). Pela Segunda Lei de Newton temos
. Substituindo,
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento. Aqui
é a aceleração (segunda derivada de
em relação ao tempo),
é a massa e
a constante da mola.
Passo 3
Colocando os valores numéricos e isolando a equação padrão do oscilador harmônico: como
temos
Essa equação tem solução típica de movimento harmônico simples com frequência angular
dada por
Calculando
com os dados:
Passo 4
Forma geral da solução e aplicação das condições iniciais: a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes fixadas pelas condições iniciais. Usando
:
- condição
dá . Logo . - a velocidade é
. Como ,
Impondo
obtemos
, ou seja
.
Portanto a solução que satisfaz as condições iniciais é
e a velocidade é
Passo 5
Amplitude e frequência (parte b):
- Amplitude do movimento: para
a amplitude é . Aqui e , então a amplitude é
- Frequência angular já calculada:
. - Frequência comum/fundamental (em Hz) é
- Período do movimento:
Passo 6
Energia mecânica como função do tempo (parte c): em um oscilador massa-mola sem atrito a energia mecânica total é soma da energia cinética
e da energia potencial elástica
:
Substituindo
,
,
e
:
A energia mecânica total é
ou seja, uma constante igual a
.
Passo 7
Descrição dos gráficos das energias (continuação do item c):
-
oscila entre e , com máximos quando (por exemplo em temos e ). -
oscila entre e , com máximos quando (por exemplo em temos e ). - As curvas
e são senos ao quadrado e cossenos ao quadrado; elas estão em quadratura (quando uma é máxima a outra é mínima). O gráfico de é uma linha horizontal em .
Passo 8
Relação entre momento linear e posição (parte d): o momento linear é
. Como
temos
. Queremos eliminar o tempo e escrever
em função de
. Usando conservação de energia:
Com
,
e
obtemos
Multiplicando por 2:
Tomando raiz:
Ou, escrevendo como curva no plano
,
que é uma elipse (no caso uma elipse que resulta de um círculo unitário esticado no eixo
):
varia em
e
varia em
. Usando a parametrização temporal
e
vemos que, para
crescendo a trajetória no espaço de fases percorre essa elipse no sentido horário (em
estamos em
e logo em seguida
aumenta e
diminui).
Passo 9
Recapitulando de forma prática para a prova: a EDO e a técnica padrão (achar
, solução trigonométrica, aplicar CI), cálculo direto de energias por
,
e usar conservação de energia para eliminar o tempo e achar a curva no espaço de fases. Dá pra fazer tudo rapidinho se você lembrar dessas fórmulas básicas — e olha só, a resposta é bem bonita e simples.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(constante).
(d)
, ou
. Equivalente a
(elipse no plano
-
, com
e
, percorrida no sentido horário).