Uma partícula de massa M=1 K g executa um M.H.S sob a ação de uma mola de constante k=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, livre de atrito e sobre um plano horizontal. No instante t=0, a partícula passa pela posição em que a mola está relaxada com uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} positiva.
(a) Encontre a equação de movimento e a posição como função do tempo.
(b) Encontre a frequência das oscilações e a amplitude do movimento.
(c) Encontre a Energia mecânica como função do tempo e construa seu gráfico.
(d) Encontre a relação entre o momento linear e a posição e esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá uma massa e uma mola e pede várias coisas. Vou listar clarinho o que foi dado e o que precisamos encontrar para não se perder:
  • Dados fornecidos: M=1\\ \mathrm{kg}, k=100\\ \mathrm{N/m}. No instante t=0 a partícula passa pela posição em que a mola está relaxada, ou seja \,x(0)=0, com velocidade \,v(0)=+10\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Encontrar a equação de movimento (a EDO) e a posição x(t) como função do tempo.
    (b) Encontrar a frequência das oscilações e a amplitude do movimento.
    (c) Encontrar a energia mecânica como função do tempo e esboçar/descrever seu gráfico.
    (d) Encontrar a relação entre o momento linear p e a posição x e esboçar/descrever seu gráfico.

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento: a mola exerce uma força restauradora dada pela Lei de Hooke \;F=-k x\; (direção contrária ao deslocamento). Pela Segunda Lei de Newton temos \;m\ddot x = F\;. Substituindo,
m\ddot x = -k x.
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento. Aqui \ddot x é a aceleração (segunda derivada de x em relação ao tempo), m é a massa e k a constante da mola.

Passo 3

Colocando os valores numéricos e isolando a equação padrão do oscilador harmônico: como m=1 temos
\ddot x + \frac{k}{m}x = 0 \quad\Rightarrow\quad \ddot x + 100\,x = 0.
Essa equação tem solução típica de movimento harmônico simples com frequência angular \omega dada por
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Calculando \omega com os dados:
\omega = \sqrt{\frac{100}{1}} = 10\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Forma geral da solução e aplicação das condições iniciais: a solução geral da EDO é
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes fixadas pelas condições iniciais. Usando \omega=10:
  • condição x(0)=0 x(0)=A\cdot 1 + B\cdot 0 = A = 0. Logo A=0.
  • a velocidade é \dot x(t) = -A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t). Como A=0,
\dot x(t)=B\omega\cos(\omega t).
Impondo \dot x(0)=10 obtemos B\omega = 10, ou seja B = \dfrac{10}{\omega} = \dfrac{10}{10}=1.
Portanto a solução que satisfaz as condições iniciais é
x(t)=\sin(10t)\quad(\mathrm{metros}),
e a velocidade é
v(t)=\dot x(t)=10\cos(10t)\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 5

Amplitude e frequência (parte b):
  • Amplitude do movimento: para x(t)=A\cos+\cdots a amplitude é \sqrt{A^2+B^2}. Aqui A=0 e B=1, então a amplitude é
\mathcal{A}=1\\ \mathrm{m}.
  • Frequência angular já calculada: \omega=10\\ \mathrm{rad/s}.
  • Frequência comum/fundamental (em Hz) é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{10}{2\pi}\approx 1{,}5915\\ \mathrm{Hz}.
  • Período do movimento:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}\approx 0{,}6283\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Energia mecânica como função do tempo (parte c): em um oscilador massa-mola sem atrito a energia mecânica total é soma da energia cinética K e da energia potencial elástica U:
K(t)=\frac{1}{2}m v(t)^2,\qquad U(t)=\frac{1}{2}k x(t)^2.
Substituindo m=1, k=100, x(t)=\sin(10t) e v(t)=10\cos(10t):
K(t)=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \bigl(10\cos(10t)\bigr)^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 100\cos^2(10t)=50\cos^2(10t)\\ \mathrm{J},
U(t)=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot \sin^2(10t)=50\sin^2(10t)\\ \mathrm{J}.
A energia mecânica total é
E(t)=K(t)+U(t)=50\bigl(\cos^2(10t)+\sin^2(10t)\bigr)=50\\ \mathrm{J},
ou seja, uma constante igual a \tfrac{1}{2}k\mathcal{A}^2=\tfrac{1}{2}\cdot 100\cdot 1^2=50\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Descrição dos gráficos das energias (continuação do item c):
  • K(t)=50\cos^2(10t) oscila entre 0 e 50\\ \mathrm{J}, com máximos quando \cos(10t)=\pm 1 (por exemplo em t=0 temos K(0)=50 e U(0)=0).
  • U(t)=50\sin^2(10t) oscila entre 0 e 50\\ \mathrm{J}, com máximos quando \sin(10t)=\pm 1 (por exemplo em t=\pi/20 temos U=\!50 e K=0).
  • As curvas K(t) e U(t) são senos ao quadrado e cossenos ao quadrado; elas estão em quadratura (quando uma é máxima a outra é mínima). O gráfico de E(t) é uma linha horizontal em 50\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Relação entre momento linear e posição (parte d): o momento linear é \,p=m v. Como m=1 temos p(t)=v(t)=10\cos(10t). Queremos eliminar o tempo e escrever p em função de x. Usando conservação de energia:
\frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}k x^2 = E.
Com m=1, k=100 e E=50 obtemos
\frac{p^2}{2} + 50 x^2 = 50 \quad\Rightarrow\quad \frac{p^2}{2}=50(1-x^2).
Multiplicando por 2:
p^2 = 100(1-x^2).
Tomando raiz:
p=\pm 10\sqrt{1-x^2}.
Ou, escrevendo como curva no plano (x,p),
x^2 + \left(\frac{p}{10}\right)^2 = 1,
que é uma elipse (no caso uma elipse que resulta de um círculo unitário esticado no eixo p): x varia em [-1,1] e p varia em [-10,10]. Usando a parametrização temporal x=\sin(10t) e p=10\cos(10t) vemos que, para t crescendo a trajetória no espaço de fases percorre essa elipse no sentido horário (em t=0 estamos em (x,p)=(0,10) e logo em seguida x aumenta e p diminui).

Passo 9

Recapitulando de forma prática para a prova: a EDO e a técnica padrão (achar \omega, solução trigonométrica, aplicar CI), cálculo direto de energias por K=\tfrac12 m v^2, U=\tfrac12 k x^2 e usar conservação de energia para eliminar o tempo e achar a curva no espaço de fases. Dá pra fazer tudo rapidinho se você lembrar dessas fórmulas básicas — e olha só, a resposta é bem bonita e simples.

Resposta

(a) \ddot x + 100x = 0. \;x(t)=\sin(10t)\\ \mathrm{m}.
(b) \omega=10\\ \mathrm{rad/s},\quad f=\dfrac{10}{2\pi}\approx 1{,}5915\\ \mathrm{Hz},\quad \mathcal{A}=1\\ \mathrm{m}.
(c) K(t)=50\cos^2(10t)\\ \mathrm{J},\quad U(t)=50\sin^2(10t)\\ \mathrm{J},\quad E(t)=50\\ \mathrm{J} (constante).
(d) p^2=100(1-x^2), ou p=\pm 10\sqrt{1-x^2}. Equivalente a x^2+(p/10)^2=1 (elipse no plano x- p, com x\in[-1,1] e p\in[-10,10], percorrida no sentido horário).

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