08 - Focalização de feixe. Um laser de íon argônio produz um feixe Gaussiano de comprimento de onda 488 nm e raio da cintura do feixe \mathrm{W}_{0}=0,5 \mathrm{~mm}. Determine uma lente simples para focalizar a luz em um spot de diâmetro 100 \mu \mathrm{~m}. Qual é a menor distancia focal da lente que pode ser usada?

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha uma lente simples que foque um feixe Gaussiano de modo que o spot no foco tenha diâmetro 100\\ \mu\mathrm{m}. Pergunta-se qual é a menor distância focal da lente que pode ser usada.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
\lambda = 488\\ \mathrm{nm},\qquad W_0 = 0,5\\ \mathrm{mm},\qquad \text{diâmetro do spot desejado} = 100\\ \mu\mathrm{m}.â
Tradução dos dados para grandezas que usaremos: raio do spot desejado w_f = metade do diâmetro = 50\\ \mu\mathrm{m}. Conversões: \lambda=488\times10^{-9}\\ \mathrm{m}, W_0=0,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, w_f=50\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Explico a fórmula que iremos usar (a “aula prática”): quando um feixe Gaussiano é focado por uma lente ideal, se o raio do feixe incidentE sobre a lente for w_{\mathrm{in}} (raio na posição da lente, medido como raio em que a intensidade caiu para 1/e^2), o menor raio de cintura focal obtido na imagem (o novo waist) é, em aproximação para feixe Gaussiano ideal e lente sem aberrações,
w_f \approx \frac{\lambda\, f}{\pi\, w_{\mathrm{in}}}.
O que cada símbolo significa:
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (m);
  • f é a distância focal da lente (m) — é o que queremos encontrar;
  • w_{\mathrm{in}} é o raio do feixe na posição da lente (m);
  • w_f é o raio do spot focal (m).
Comentário sobre a fórmula e suas suposições (importante para a prova): essa expressão vem da combinação da difração limite de Fourier com o perfil Gaussiano — é equivalente a dizer que a lente realiza uma transformada de Fourier aproximada da superfície de onda incidente. Vale para feixe puro Gaussiano ( M^2=1), lente sem aberrações, e quando a lente “vê” o feixe com raio w_{\mathrm{in}}. Se o feixe for maior na lente, o foco fica menor para o mesmo f; se for menor, o foco aumenta.

Passo 3

Para obter a menor distância focal possível, devemos minimizar f mantendo w_f fixo. Pela fórmula acima,
f \approx \frac{\pi\, w_{\mathrm{in}}\, w_f}{\lambda}.
Como f é proporcional a w_{\mathrm{in}}, a menor f ocorre quando w_{\mathrm{in}} for o menor possível. Num feixe Gaussiano o menor valor de raio que o feixe atinge é a sua cintura original W_0. Ou seja, posicionando a lente justamente na cintura original (ou muito próxima), temos w_{\mathrm{in}} = W_0 e obtemos o menor f possível com esses parâmetros do feixe.
Portanto a expressão para a menor distância focal é
f_{\min} = \frac{\pi\, W_0\, w_f}{\lambda}.

Passo 4

Agora substituo os números (faço as conversões e conto passo a passo):
W_0 = 0,5\\ \mathrm{mm}=0,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \qquad w_f = 50\\ \mu\mathrm{m}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{m}, \qquad \lambda = 488\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Calculo o numerador:
\pi\,W_0\,w_f = \pi \times 0,5\times10^{-3}\times 50\times10^{-6} = \pi \times 2{,}5\times10^{-8} \approx 7{,}8539816\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^2.
Divido pelo comprimento de onda:
f_{\min} = \frac{7{,}8539816\times10^{-8}}{488\times10^{-9}} \approx 0{,}16098\\ \mathrm{m}.
Arredondando com sentido prático, f_{\min}\approx 0,161\\ \mathrm{m}, isto é cerca de 161\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Interpretação prática e checagens rápidas:
  • Assumi \;w_{\mathrm{in}}=W_0 (lente colocada na cintura do feixe) — essa escolha dá a menor f para os dados do feixe.
  • Se a lente fosse colocada onde o feixe já é maior, seria possível usar uma lente de foco menor, pois f\propto w_{\mathrm{in}}; mas para fixed beam source, o menor raio na frente da lente é W_0, então essa é a menor f possível sem alterar a geometria do feixe de entrada.
  • O valor obtido é compatível com um sistema de foco razoável (NA pequeno, sem necessidade de lentes especiais).
    Força: você já tem tudo — a fórmula chave e como aplicar. Vai com calma na prova: escreva dados, explique a hipótese (lente na cintura) e faça a conta como acima.

Resposta

f_{\min}\approx 0,161\\ \mathrm{m} (aprox. 161\\ \mathrm{mm})

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