Um sistema massa-mola possui massa de \mathrm{m}=30 \mathrm{~g}, constante de força igual a \mathrm{k}=1 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e amortecimento \mathrm{b}=0,1 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}. Para esse oscilador subamortecido:
(a) Qual é frequência angular \omega ’ de oscilação desse sistema?
(b) Qual é o período T do movimento.
(R: (a) 5,53 \mathrm{rad} / \mathrm{s}; (b) 1,14 \mathrm{~s} ).

Passo 1

O enunciado fornece os parâmetros do sistema massa-mola amortecido e pede duas quantidades:
  • Dados: \;m=30\\ \mathrm{g}, \;k=1\\ \mathrm{N/m}, \;b=0,1\\ \mathrm{Ns/m}.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a frequência angular de oscilação amortecida \omega' desse sistema?
    (b) Qual é o período T do movimento amortecido?

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento do oscilador linear amortecido:
m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0.
Explicação didática: aqui \ddot{x} é a aceleração, \dot{x} a velocidade. A solução geral depende das raízes da equação característica associada a esta equação diferencial.

Passo 3

Definições úteis e fórmulas que usaremos:
  • Frequência natural (não amortecida) \omega_0 (rad/s):
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \;k é a constante elástica (N/m) e \;m a massa (kg).
  • coeficiente de amortecimento \gamma (s^{-1}):
\gamma = \frac{b}{2m}.
  • Para o caso subamortecido (quando \gamma < \omega_0), a frequência angular de oscilação amortecida é
\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}.
E o período do movimento amortecido é
T = \frac{2\pi}{\omega'}.
Breve explicação: no caso subamortecido as raízes da característica são complexas -\gamma \pm i\omega', então a solução oscila com frequência \omega' enquanto decai exponencialmente por e^{-\gamma t}.

Passo 4

Primeiro convertemos a massa para unidades SI (quilograma):
m = 30\\ \mathrm{g} = 0,03\\ \mathrm{kg}.
Anotação: sempre trabalhar em unidades do SI para usar diretamente k em N/m e b em Ns/m.

Passo 5

Calculemos a frequência natural \omega_0:
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1}{0,03}}.
Avaliação passo a passo:
\frac{1}{0,03} = 33{,}333\ldots
\omega_0 = \sqrt{33{,}333\ldots} \approx 5{,}7735\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação: \omega_0 é a frequência angular que o sistema teria sem amortecimento.

Passo 6

Calculemos o coeficiente de amortecimento \gamma:
\gamma = \frac{b}{2m} = \frac{0,1}{2\cdot 0,03} = \frac{0,1}{0,06} = 1{,}6666\ldots\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação: \gamma mede a taxa de decaimento exponencial da amplitude.

Passo 7

Verificação do regime (subamortecido):
\gamma \approx 1{,}6667\\ \mathrm{s^{-1}},\qquad \omega_0 \approx 5{,}7735\\ \mathrm{rad/s}.
Como \gamma < \omega_0, o sistema é realmente subamortecido e podemos usar a fórmula de \omega'.

Passo 8

Calculemos a frequência angular amortecida \omega':
\omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}.
Avaliação numérica passo a passo:
\omega_0^2 \approx (5{,}7735)^2 \approx 33{,}3333,
\gamma^2 \approx (1{,}6667)^2 \approx 2{,}7778,
\omega'^2 \approx 33{,}3333 - 2{,}7778 = 30{,}5555,
\omega' \approx \sqrt{30{,}5555} \approx 5{,}5269\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando com dígitos coerentes, obtemos \omega' \approx 5{,}53\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 9

Calculemos o período T do movimento amortecido:
T = \frac{2\pi}{\omega'}.
Substituindo o valor de \omega':
T \approx \frac{2\pi}{5{,}5269} \approx \frac{6{,}283185}{5{,}5269} \approx 1{,}1373\\ \mathrm{s}.
Arredondando, T \approx 1{,}14\\ \mathrm{s}.

Passo 10

Resumo final: apresento os valores obtidos, arredondados para duas casas decimais conforme o gabarito fornecido.

Resposta

(a) \;5,53\\ \mathrm{rad/s}
(b) \;1,14\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados