Um sistema massa-mola possui massa de
, constante de força igual a
e amortecimento
. Para esse oscilador subamortecido:
(a) Qual é frequência angular
’ de oscilação desse sistema?
(b) Qual é o período T do movimento.
(R: (a)
; (b)
).
(a) Qual é frequência angular
(b) Qual é o período T do movimento.
(R: (a)
Passo 1
O enunciado fornece os parâmetros do sistema massa-mola amortecido e pede duas quantidades:
- Dados:
, , . - Perguntas:
(a) Qual é a frequência angular de oscilação amortecidadesse sistema?
(b) Qual é o períododo movimento amortecido?
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento do oscilador linear amortecido:
Explicação didática: aqui
é a aceleração,
a velocidade. A solução geral depende das raízes da equação característica associada a esta equação diferencial.
Passo 3
Definições úteis e fórmulas que usaremos:
- Frequência natural (não amortecida)
(rad/s):
Aqui
é a constante elástica (N/m) e
a massa (kg).
- coeficiente de amortecimento
(s^{-1}):
- Para o caso subamortecido (quando
), a frequência angular de oscilação amortecida é
E o período do movimento amortecido é
Breve explicação: no caso subamortecido as raízes da característica são complexas
, então a solução oscila com frequência
enquanto decai exponencialmente por
.
Passo 4
Primeiro convertemos a massa para unidades SI (quilograma):
Anotação: sempre trabalhar em unidades do SI para usar diretamente
em N/m e
em Ns/m.
Passo 5
Calculemos a frequência natural
:
Avaliação passo a passo:
Interpretação:
é a frequência angular que o sistema teria sem amortecimento.
Passo 6
Calculemos o coeficiente de amortecimento
:
Interpretação:
mede a taxa de decaimento exponencial da amplitude.
Passo 7
Verificação do regime (subamortecido):
Como
, o sistema é realmente subamortecido e podemos usar a fórmula de
.
Passo 8
Calculemos a frequência angular amortecida
:
Avaliação numérica passo a passo:
Arredondando com dígitos coerentes, obtemos
.
Passo 9
Calculemos o período
do movimento amortecido:
Substituindo o valor de
:
Arredondando,
.
Passo 10
Resumo final: apresento os valores obtidos, arredondados para duas casas decimais conforme o gabarito fornecido.
Resposta
(a)
(b)
(b)