Considere uma pessoa em uma embarcação que oscila para cima e para baixo executando um MHS. O deslocamento vertical y da embarcação é:
y=(1,2 m) \cos \left(\frac{t}{2 s}+\frac{\pi}{6}\right)
(a) Determine a amplitude A, a frequência f, a frequência angular \omega, a constante de fase \delta, e o período T do movimento.
(b) Qual é a posição da embarcação no instante \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} ?
(c) Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo.
(d) Determine a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da embarcação.
(R: (a) 1,2 \mathrm{~m} ; 0,0796 \mathrm{~Hz} ;(1 / 2) \mathrm{rad} / \mathrm{s} ;(\pi / 6) \mathrm{rad} ; 12,6 \mathrm{~s} ;( b) 0,624 \mathrm{~m};
(c) V_{y}=(-0,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \operatorname{sen}\left(\frac{t}{2 s}+\frac{\pi}{6}\right) ; \quad a_{y}=\left(-0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \cos \left(\frac{t}{2 s}+\frac{\pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado fornece o deslocamento vertical da embarcação como
y=(1,2\\ \text{m})\cos\!\left(\frac{t}{2\\ \text{s}}+\frac{\pi}{6}\right).
Ele pede:
  • (a) amplitude A, frequência f, frequência angular \omega, constante de fase \delta e período T;
  • (b) posição y no instante t=1\\ \text{s};
  • (c) velocidade v_y(t) e aceleração a_y(t) em função do tempo;
  • (d) posição, velocidade e aceleração iniciais (em t=0).
Informações relevantes dadas:
  • A função está no formato y=A\cos(\omega t+\delta).
  • O fator multiplicando t no argumento é \dfrac{1}{2\\ \text{s}}.
  • A fase inicial é \dfrac{\pi}{6}.

Passo 2

Breve revisão do que significam as quantidades pedidas (com fórmulas):
  • Amplitude A: máxima magnitude do deslocamento (unidade: \text{m}). Está diretamente no fator que multiplica o cosseno em y=A\cos(\cdot).
  • Frequência angular \omega: coeficiente que multiplica t dentro do cosseno; unidade \text{rad}\,\text{s}^{-1}.
  • Frequência f: número de oscilações por segundo; relaciona-se com \omega por
f=\frac{\omega}{2\pi}\quad(\text{Hz}).
  • Período T: tempo de uma oscilação completa,
T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}\quad(\text{s}).
  • Constante de fase \delta: deslocamento angular inicial dentro do cosseno, em radianos.
Essas relações permite extrair tudo a partir da forma y=A\cos(\omega t+\delta).

Passo 3

Identificar A e \delta diretamente da expressão:
  • Comparando com y=A\cos(\omega t+\delta), tem-se
A=1,2\\ \text{m}, \qquad \delta=\frac{\pi}{6}\\ \text{rad}.

Passo 4

Determinar \omega:
  • O argumento é \dfrac{t}{2\\ \text{s}}+\dfrac{\pi}{6}. O coeficiente do tempo é \dfrac{1}{2\\ \text{s}}, que é \omega. Portanto
\omega=\frac{1}{2}\\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}.
Observação sobre unidades: escrever \dfrac{t}{2\\ \text{s}} significa \left(\dfrac{1}{2\\ \text{s}}\right)t, logo \omega tem unidade \text{s}^{-1} (rad/s).

Passo 5

Calcular f e T a partir de \omega:
  • Frequência
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\tfrac{1}{2}}{2\pi}=\frac{1}{4\pi}.
Numérico:
f=\frac{1}{4\pi}\approx0,079577\\ \text{Hz}\approx0,0796\\ \text{Hz}.
  • Período
T=\frac{1}{f}=4\pi\\ \text{s}\approx12,566\\ \text{s}\approx12,6\\ \text{s}.

Passo 6

Resolver (b): posição em t=1\\ \text{s}.
  • Substituir t=1\\ \text{s} em
y(t)=1,2\cos\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)
(observe que a unidade de tempo em segundos já foi considerada no coeficiente):
y(1)=1,2\cos\!\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{6}\right).
Calcular numericamente:
\frac{1}{2}+\frac{\pi}{6}\approx0,5+0,523599\approx1,023599\\ \text{rad}.
\cos(1,023599)\approx0,5200\quad(\text{aprox.}),
y(1)\approx1,2\times0,5200\approx0,624\\ \text{m}.

Passo 7

Determinar velocidade e aceleração em função do tempo (parte (c)).
  • Regra usada: derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t))\cdot u'(t) (cadeia). Aqui u(t)=\omega t+\delta e u'(t)=\omega.
  • Velocidade:
v_y(t)=\frac{dy}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\delta).
Substituindo A=1,2 e \omega=\tfrac{1}{2}:
A\omega=1,2\cdot\frac{1}{2}=0,6,
logo
v_y(t)=-0,6\\ \sin\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.
  • Aceleração: derivar v_y(t). Derivada de -\sin(u(t)) é -\cos(u(t))\cdot u'(t), portanto
a_y(t)=\frac{dv_y}{dt}=-A\omega^2\cos(\omega t+\delta).
Calcular A\omega^2:
\omega^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4},\qquad A\omega^2=1,2\cdot\frac{1}{4}=0,3.
Logo
a_y(t)=-0,3\\ \cos\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}.

Passo 8

Determinar posições, velocidade e aceleração iniciais (parte (d)), isto é em t=0.
  • Posição inicial:
y(0)=A\cos(\delta)=1,2\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
Sabendo \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660254,
y(0)=1,2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=0,6\sqrt{3}\approx1,039\\ \text{m}.
  • Velocidade inicial:
v_y(0)=-0,6\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-0,6\cdot\frac{1}{2}=-0,3\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.
  • Aceleração inicial:
a_y(0)=-0,3\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-0,3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-0,15\sqrt{3}\approx-0,260\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}.
Interpretação rápida: o sinal negativo em v_y(0) indica que inicialmente a embarcação está se movendo no sentido negativo do eixo y (para baixo, se o eixo positivo for para cima).

Passo 9

Recapitulando as expressões finais (úteis na prova):
y(t)=1,2\cos\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\\ \text{m},
v_y(t)=-0,6\sin\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\\ \text{m}\,\text{s}^{-1},
a_y(t)=-0,3\cos\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}.
Bom trabalho até aqui — respira fundo: com esse passo a passo dá pra reproduzir tudo na prova.

Resposta

(a) A=1,2\\ \text{m};\quad f=0,0796\\ \text{Hz};\quad \omega=\tfrac{1}{2}\\ \text{rad}\,\text{s}^{-1};\quad \delta=\tfrac{\pi}{6}\\ \text{rad};\quad T=12,6\\ \text{s}.
(b) y(1)=0,624\\ \text{m}.
(c) v_y(t)=-0,6\\ \sin\!\left(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right)\\ \text{m}\,\text{s}^{-1};\quad a_y(t)=-0,3\\ \cos\!\left(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right)\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}.
(d) y(0)=0,6\sqrt{3}\approx1,039\\ \text{m};\quad v_y(0)=-0,3\\ \text{m}\,\text{s}^{-1};\quad a_y(0)=-0,15\sqrt{3}\approx-0,260\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}.

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