Considere uma pessoa em uma embarcação que oscila para cima e para baixo executando um MHS. O deslocamento vertical y da embarcação é:
(a) Determine a amplitude A, a frequência f, a frequência angular
, a constante de fase
, e o período T do movimento.
(b) Qual é a posição da embarcação no instante
?
(c) Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo.
(d) Determine a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da embarcação.
(R: (a)
b)
;
(c)
(b) Qual é a posição da embarcação no instante
(c) Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo.
(d) Determine a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da embarcação.
(R: (a)
(c)
Passo 1
O enunciado fornece o deslocamento vertical da embarcação como
Ele pede:
- (a) amplitude
, frequência , frequência angular , constante de fase e período ; - (b) posição
no instante ; - (c) velocidade
e aceleração em função do tempo; - (d) posição, velocidade e aceleração iniciais (em
).
Informações relevantes dadas:
- A função está no formato
. - O fator multiplicando
no argumento é . - A fase inicial é
.
Passo 2
Breve revisão do que significam as quantidades pedidas (com fórmulas):
- Amplitude
: máxima magnitude do deslocamento (unidade: ). Está diretamente no fator que multiplica o cosseno em . - Frequência angular
: coeficiente que multiplica dentro do cosseno; unidade . - Frequência
: número de oscilações por segundo; relaciona-se com por
- Período
: tempo de uma oscilação completa,
- Constante de fase
: deslocamento angular inicial dentro do cosseno, em radianos.
Essas relações permite extrair tudo a partir da forma
.
Passo 3
Identificar
e
diretamente da expressão:
- Comparando com
, tem-se
Passo 4
Determinar
:
- O argumento é
. O coeficiente do tempo é , que é . Portanto
Observação sobre unidades: escrever
significa
, logo
tem unidade
(rad/s).
Passo 5
Calcular
e
a partir de
:
- Frequência
Numérico:
- Período
Passo 6
Resolver (b): posição em
.
- Substituir
em
(observe que a unidade de tempo em segundos já foi considerada no coeficiente):
Calcular numericamente:
Passo 7
Determinar velocidade e aceleração em função do tempo (parte (c)).
- Regra usada: derivada de
é (cadeia). Aqui e . - Velocidade:
Substituindo
e
:
logo
- Aceleração: derivar
. Derivada de é , portanto
Calcular
:
Logo
Passo 8
Determinar posições, velocidade e aceleração iniciais (parte (d)), isto é em
.
- Posição inicial:
Sabendo
,
- Velocidade inicial:
- Aceleração inicial:
Interpretação rápida: o sinal negativo em
indica que inicialmente a embarcação está se movendo no sentido negativo do eixo
(para baixo, se o eixo positivo for para cima).
Passo 9
Recapitulando as expressões finais (úteis na prova):
Bom trabalho até aqui — respira fundo: com esse passo a passo dá pra reproduzir tudo na prova.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)