Um corpo de massa
está preso a uma mola de constante elástica
. O corpo é puxado em uma superfície sem atrito por uma distância de
a partir da posição de equilíbrio em
e liberado sem velocidade inicial no instante
.
(a) Determine a frequência angular, a frequência e o período do movimento.
(b) Determine a amplitude das oscilações.
(c) Determine o módulo da velocidade máxima
do corpo e a posição em que se encontra o corpo quando possui essa velocidade.
(d) Determine o módulo
aceleração máxima do corpo.
(e) Determine a constante de fase
do movimento e escreva uma equação para a função deslocamento
do sistema massa-mola.
(R: (a)
; (b) 11 cm ; (c)
(d)
;
(a) Determine a frequência angular, a frequência e o período do movimento.
(b) Determine a amplitude das oscilações.
(c) Determine o módulo da velocidade máxima
(d) Determine o módulo
(e) Determine a constante de fase
(R: (a)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados:
- Massa:
. - Constante da mola:
. - Deslocamento inicial a partir do equilíbrio:
(peguei a partir dos indicados). - Velocidade inicial:
(liberado sem velocidade). - Instante inicial:
.
O enunciado pede:
(a) frequência angular , frequência
e período
do movimento;
(b) amplitude das oscilações ;
(c) módulo da velocidade máxima e a posição
em que ela ocorre;
(d) módulo da aceleração máxima ;
(e) constante de fase e uma equação para o deslocamento
.
(a) frequência angular
(b) amplitude das oscilações
(c) módulo da velocidade máxima
(d) módulo da aceleração máxima
(e) constante de fase
Passo 2
Entendendo a equação do movimento e como obter
. Para um sistema massa-mola sem atrito a equação de movimento é
onde:
-
é o deslocamento em função do tempo, -
é a aceleração (segunda derivada de em relação ao tempo), -
e são os dados do enunciado.
Essa equação tem solução harmônica simples da forma
onde:
-
é a amplitude, -
é a frequência angular, -
é a constante de fase.
Para a equação acima vale a relação
Vou calcular
com os valores dados:
Agora a relação entre
, frequência
e período
é:
Calculo
e
:
Passo 3
Determinar a amplitude
. Aqui o corpo foi puxado até
a partir do equilíbrio e liberado sem velocidade. Isso significa que a posição inicial
é a amplitude máxima do movimento (pois o corpo começa no extremo e parte do repouso). Logo:
Passo 4
Velocidade máxima em MHS e onde ela ocorre. Fórmula para a velocidade em MHS (derivando
):
O módulo máximo de
é
Usando
e
:
Posição onde a velocidade é máxima: na oscilação a velocidade máxima ocorre quando a energia potencial elástica é zero e toda a energia está na forma cinética; isso acontece no ponto de equilíbrio
. Matematicamente,
ocorre quando
, ou seja
. Portanto:
Passo 5
Aceleração máxima. A aceleração em MHS é obtida derivando a velocidade (ou derivando duas vezes
):
O módulo máximo de
é
Como
, podemos também calcular por
. Usando os números:
Passo 6
Determinar a constante de fase
e escrever
.
A solução geral é
. Aplicando as condições iniciais no instante
:
Da segunda equação vem
, o que implica
para algum inteiro
. Da primeira equação
com
exige
. A combinação
e
dá
.
Portanto a constante de fase é
A equação do deslocamento fica então
(Arredondei
para
se preferir representar com menos algarismos:
.)
Resposta
(a)
(b) (11 cm)
(c) (ou seja
)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)