Um corpo de massa \mathrm{m}=0,680 \mathrm{~kg} está preso a uma mola de constante elástica \mathrm{k}=65 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O corpo é puxado em uma superfície sem atrito por uma distância de \mathrm{x}=11 \mathrm{~cm} a partir da posição de equilíbrio em \mathrm{x}=0 e liberado sem velocidade inicial no instante \mathrm{t}=0.
(a) Determine a frequência angular, a frequência e o período do movimento.
(b) Determine a amplitude das oscilações.
(c) Determine o módulo da velocidade máxima v_{\max } do corpo e a posição em que se encontra o corpo quando possui essa velocidade.
(d) Determine o módulo a_{\max } d a aceleração máxima do corpo.
(e) Determine a constante de fase \delta do movimento e escreva uma equação para a função deslocamento x(t) do sistema massa-mola.
(R: (a) 9,8 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; 1,6 \mathrm{~Hz} ; 0,64 \mathrm{~s}; (b) 11 cm ; (c) 1,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \mathrm{x}=0 ; (d) 10,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2};

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Massa: m=0,680\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=65\\ \mathrm{N/m}.
  • Deslocamento inicial a partir do equilíbrio: x(0)=0,11\\ \mathrm{m} (peguei 0,11\\ \mathrm{m} a partir dos 11\\ \mathrm{cm} indicados).
  • Velocidade inicial: v(0)=0 (liberado sem velocidade).
  • Instante inicial: t=0.
O enunciado pede:
(a) frequência angular \omega, frequência f e período T do movimento;
(b) amplitude das oscilações A;
(c) módulo da velocidade máxima v_{\max} e a posição x em que ela ocorre;
(d) módulo da aceleração máxima a_{\max};
(e) constante de fase \delta e uma equação para o deslocamento x(t).

Passo 2

Entendendo a equação do movimento e como obter \omega. Para um sistema massa-mola sem atrito a equação de movimento é
m\ddot{x}+kx=0,
onde:
  • x(t) é o deslocamento em função do tempo,
  • \ddot{x} é a aceleração (segunda derivada de x em relação ao tempo),
  • m e k são os dados do enunciado.
Essa equação tem solução harmônica simples da forma
x(t)=A\cos(\omega t+\delta),
onde:
  • A é a amplitude,
  • \omega é a frequência angular,
  • \delta é a constante de fase.
Para a equação acima vale a relação
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Vou calcular \omega com os valores dados:
\omega=\sqrt{\dfrac{65}{0,680}}=\sqrt{95,5882353\ldots}=9,78\\ \mathrm{rad/s}\\ (\text{arred. }9,8\\ \mathrm{rad/s}).
Agora a relação entre \omega, frequência f e período T é:
f=\dfrac{\omega}{2\pi},\qquad T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Calculo f e T:
f=\dfrac{9,78}{2\pi}=1,56\\ \mathrm{Hz}\\ (\text{aprox. }1,6\\ \mathrm{Hz}),
T=\dfrac{1}{1,56}=0,641\\ \mathrm{s}\\ (\text{aprox. }0,64\\ \mathrm{s}).

Passo 3

Determinar a amplitude A. Aqui o corpo foi puxado até x=0,11\\ \mathrm{m} a partir do equilíbrio e liberado sem velocidade. Isso significa que a posição inicial x(0) é a amplitude máxima do movimento (pois o corpo começa no extremo e parte do repouso). Logo:
A=0,11\\ \mathrm{m}\quad(\text{ou }11\\ \mathrm{cm}).

Passo 4

Velocidade máxima em MHS e onde ela ocorre. Fórmula para a velocidade em MHS (derivando x(t)=A\cos(\omega t+\delta)):
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\delta).
O módulo máximo de v(t) é
v_{\max}=A\omega.
Usando A=0,11\\ \mathrm{m} e \omega=9,78\\ \mathrm{rad/s}:
v_{\max}=0,11\times 9,78=1,076\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{arred. }1,1\\ \mathrm{m/s}).
Posição onde a velocidade é máxima: na oscilação a velocidade máxima ocorre quando a energia potencial elástica é zero e toda a energia está na forma cinética; isso acontece no ponto de equilíbrio x=0. Matematicamente, v_{\max} ocorre quando \cos(\omega t+\delta)=0, ou seja x=0. Portanto:
x\text{ quando }v_{\max}=0.

Passo 5

Aceleração máxima. A aceleração em MHS é obtida derivando a velocidade (ou derivando duas vezes x):
a(t)=\ddot{x}(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\delta).
O módulo máximo de a(t) é
a_{\max}=A\omega^{2}.
Como \omega^{2}=k/m, podemos também calcular por a_{\max}=A(k/m). Usando os números:
a_{\max}=0,11\times 95,5882353\ldots=10,515\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ (\text{arred. }10,5\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 6

Determinar a constante de fase \delta e escrever x(t).
A solução geral é x(t)=A\cos(\omega t+\delta). Aplicando as condições iniciais no instante t=0:
x(0)=A\cos\delta=0,11,
v(0)=-A\omega\sin\delta=0.
Da segunda equação vem \sin\delta=0, o que implica \delta=n\pi para algum inteiro n. Da primeira equação A\cos\delta=0,11 com A=0,11 exige \cos\delta=1. A combinação \sin\delta=0 e \cos\delta=1 \delta=0.
Portanto a constante de fase é
\delta=0.
A equação do deslocamento fica então
x(t)=A\cos(\omega t)=0,11\cos(9,78\,t)\\ \mathrm{m}.
(Arredondei \omega para 9,8\\ \mathrm{rad/s} se preferir representar com menos algarismos: x(t)=0,11\cos(9,8\,t).)

Resposta

(a) \omega=9,8\\ \mathrm{rad/s};\quad f=1,6\\ \mathrm{Hz};\quad T=0,64\\ \mathrm{s}
(b) A=0,11\\ \mathrm{m} (11 cm)
(c) v_{\max}=1,1\\ \mathrm{m/s};\quad x\\ \text{quando }v_{\max}=0 (ou seja x=0)
(d) a_{\max}=10,5\\ \mathrm{m/s^{2}}
(e) \delta=0;\quad x(t)=0,11\cos(9,8\,t)\\ \mathrm{m}

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