Questão 1
A partícula
possui uma massa de
. Ela decai em um
e um
, cada um com massa
. Imediatamente após o decaimento, um dos píons encontra-se em repouso no referencial lab.
a) Determine, no referencial lab, a energia cinética e velocidade do outro píon após, e do káon antes do decaimento.
b) Qual é a velocidade de cada píon no referencial do centro de massa das partículas (que é o referencial do káon inicial)?
a) Determine, no referencial lab, a energia cinética e velocidade do outro píon após, e do káon antes do decaimento.
b) Qual é a velocidade de cada píon no referencial do centro de massa das partículas (que é o referencial do káon inicial)?
Passo 1
O enunciado dá as massas e as condições imediatas do decaimento. Vou listar claramente o que é pedido e os dados numéricos (todos os símbolos matemáticos estarão em TeX).
- Dados:
- Massa do káon:
. - Massa de cada píon:
. - Após o decaimento
, um dos píons está em repouso no referencial laboratório (lab).
- Massa do káon:
- Perguntas:
a) No referencial lab, determinar (i) a energia cinética e a velocidade do píon que NÃO está em repouso e (ii) a energia cinética e a velocidade do káon antes do decaimento.
b) No referencial do centro de massa (que é o referencial onde o káon inicial está em repouso), determinar a velocidade de cada píon.
Passo 2
Relembrando princípios físicos e relações relativísticas que usarei (explicação didática breve e necessária):
- Conservação do quadrivetor energia-momento: a soma das energias e a soma dos momentos antes e depois do decaimento são iguais.
- Relação de energia e momento relativística para uma partícula de massa
: Aqui é a energia total, o módulo do momento linear e a velocidade da luz. - Definições úteis:
- Conveniente: trabalhar em unidades com
para simplificar as fórmulas (nas contas numéricas abaixo as massas em tornam-se números em quando multiplicadas por ; adoto e escrevo as energias em ). Sempre que aparecer na resposta final, volto a escrever como múltiplo de .
Passo 3
Aplicando conservação de energia e momento no referencial lab (situação com um píon em repouso):
- Denoto o píon em repouso por índice 1 e o píon em movimento por índice 2. Então no lab:
- Conservação da energia:
onde usei porque o píon 1 está em repouso (energia de repouso). - Relação relativística para o káon:
Substituindo e com , obtemos Desenvolvendo e simplificando (faço passo a passo):
Isolando
:
Essa é uma fórmula útil: dá diretamente a energia total do píon em movimento no lab quando o outro píon está em repouso.
Passo 4
Calcular numericamente a energia total do píon em movimento
e sua energia cinética:
- Primeiro calculo
e (em ):
- Substituindo na fórmula:
- Energia cinética do píon em movimento:
Passo 5
Calcular a velocidade do píon em movimento no lab:
- Primeiro o fator
desse píon: - Então
Ou seja,
Passo 6
Calcular a energia cinética e a velocidade do káon antes do decaimento (no lab):
- A energia total do káon no lab é a soma das energias dos produtos:
- Energia cinética do káon:
- Momento comum (igual ao momento do píon em movimento):
- Velocidade do káon:
ou
Passo 7
Determinar a velocidade de cada píon no referencial do centro de massa (CM) — que é o referencial de repouso do káon inicial:
- No CM o káon inicial está em repouso, então a energia total disponível é
. Como as massas dos píons são iguais, cada píon sai com a mesma energia: - O fator
no CM para cada píon: - A velocidade (módulo) de cada píon no CM:
Assim, - Observação didática final: no CM os dois píons têm velocidades de mesmo módulo e sentidos opostos; a energia cinética de cada um no CM é
(apenas para referência).
Resposta
a)
a)
b)
a)
b)