Questão 1
A partícula K^{0} possui uma massa de 497,7 \mathrm{MeV} / c^{2}. Ela decai em um \pi^{-}e um \pi^{+}, cada um com massa 139,6 \mathrm{MeV} / c^{2}. Imediatamente após o decaimento, um dos píons encontra-se em repouso no referencial lab.
a) Determine, no referencial lab, a energia cinética e velocidade do outro píon após, e do káon antes do decaimento.
b) Qual é a velocidade de cada píon no referencial do centro de massa das partículas (que é o referencial do káon inicial)?

Passo 1

O enunciado dá as massas e as condições imediatas do decaimento. Vou listar claramente o que é pedido e os dados numéricos (todos os símbolos matemáticos estarão em TeX).
  • Dados:
    • Massa do káon: \,m_K = 497,7\\ \mathrm{MeV}/c^{2}.
    • Massa de cada píon: \,m_{\pi} = 139,6\\ \mathrm{MeV}/c^{2}.
    • Após o decaimento K^{0}\to\pi^{-}+\pi^{+}, um dos píons está em repouso no referencial laboratório (lab).
  • Perguntas:
    a) No referencial lab, determinar (i) a energia cinética e a velocidade do píon que NÃO está em repouso e (ii) a energia cinética e a velocidade do káon antes do decaimento.
    b) No referencial do centro de massa (que é o referencial onde o káon inicial está em repouso), determinar a velocidade de cada píon.

Passo 2

Relembrando princípios físicos e relações relativísticas que usarei (explicação didática breve e necessária):
  • Conservação do quadrivetor energia-momento: a soma das energias e a soma dos momentos antes e depois do decaimento são iguais.
  • Relação de energia e momento relativística para uma partícula de massa m: E^{2} = (pc)^{2} + (mc^{2})^{2}.Aqui E é a energia total, p o módulo do momento linear e c a velocidade da luz.
  • Definições úteis: \gamma \equiv \frac{E}{mc^{2}},\qquad \beta\equiv\frac{v}{c}=\frac{pc}{E}.
  • Conveniente: trabalhar em unidades com c=1 para simplificar as fórmulas (nas contas numéricas abaixo as massas em \mathrm{MeV}/c^{2} tornam-se números em \mathrm{MeV} quando multiplicadas por c^{2}; adoto c=1 e escrevo as energias em \mathrm{MeV}). Sempre que aparecer c na resposta final, volto a escrever como múltiplo de c.

Passo 3

Aplicando conservação de energia e momento no referencial lab (situação com um píon em repouso):
  • Denoto o píon em repouso por índice 1 e o píon em movimento por índice 2. Então no lab: p_{1}=0,\qquad p_{K}=p_{2}.
  • Conservação da energia: E_{K}=E_{1}+E_{2}=m_{\pi}+E_{2},onde usei E_{1}=m_{\pi} porque o píon 1 está em repouso (energia de repouso).
  • Relação relativística para o káon: E_{K}^{2}-p_{K}^{2}=m_{K}^{2}.Substituindo E_{K}=m_{\pi}+E_{2} e p_{K}=p_{2} com p_{2}^{2}=E_{2}^{2}-m_{\pi}^{2}, obtemos (m_{\pi}+E_{2})^{2}-(E_{2}^{2}-m_{\pi}^{2})=m_{K}^{2}.Desenvolvendo e simplificando (faço passo a passo): (m_{\pi}^{2}+2m_{\pi}E_{2}+E_{2}^{2})-E_{2}^{2}+m_{\pi}^{2}=m_{K}^{2},
2m_{\pi}^{2}+2m_{\pi}E_{2}=m_{K}^{2}.
Isolando E_{2}:
E_{2}=\frac{m_{K}^{2}-2m_{\pi}^{2}}{2m_{\pi}}.
Essa é uma fórmula útil: dá diretamente a energia total do píon em movimento no lab quando o outro píon está em repouso.

Passo 4

Calcular numericamente a energia total do píon em movimento E_{2} e sua energia cinética:
  • Primeiro calculo m_{K}^{2} e m_{\pi}^{2} (em \mathrm{MeV}^{2}): m_{K}^{2}=(497{,}7)^{2}=247\,705{,}29\\ \mathrm{MeV}^{2},
m_{\pi}^{2}=(139{,}6)^{2}=19\,488{,}16\\ \mathrm{MeV}^{2}.
  • Substituindo na fórmula: E_{2}=\frac{247\,705{,}29 - 2\cdot 19\,488{,}16}{2\cdot 139{,}6} =\frac{208\,728{,}97}{279{,}2}\approx 747{,}6\\ \mathrm{MeV}.
  • Energia cinética do píon em movimento: T_{\pi}^{(\text{lab})}=E_{2}-m_{\pi}=747{,}6-139{,}6=608{,}0\\ \mathrm{MeV}.

Passo 5

Calcular a velocidade do píon em movimento no lab:
  • Primeiro o fator \gamma desse píon: \gamma_{\pi}^{(\text{lab})}=\frac{E_{2}}{m_{\pi}}=\frac{747{,}6}{139{,}6}\approx 5{,}355.
  • Então \beta_{\pi}^{(\text{lab})}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma_{\pi}^{2}}} =\sqrt{1-\frac{1}{(5{,}355)^{2}}}\approx 0{,}982.Ou seja, v_{\pi}^{(\text{lab})}\approx 0{,}982\,c.

Passo 6

Calcular a energia cinética e a velocidade do káon antes do decaimento (no lab):
  • A energia total do káon no lab é a soma das energias dos produtos: E_{K}=m_{\pi}+E_{2}=139{,}6+747{,}6=887{,}2\\ \mathrm{MeV}.
  • Energia cinética do káon: T_{K}=E_{K}-m_{K}=887{,}2-497{,}7=389{,}5\\ \mathrm{MeV}.
  • Momento comum (igual ao momento do píon em movimento): p = p_{2}=\sqrt{E_{2}^{2}-m_{\pi}^{2}} =\sqrt{(747{,}6)^{2}-(139{,}6)^{2}}\approx 734{,}45\\ \mathrm{MeV}/c.
  • Velocidade do káon: \beta_{K}=\frac{p}{E_{K}}\approx\frac{734{,}45}{887{,}2}\approx 0{,}828,ou v_{K}\approx 0{,}828\,c.

Passo 7

Determinar a velocidade de cada píon no referencial do centro de massa (CM) — que é o referencial de repouso do káon inicial:
  • No CM o káon inicial está em repouso, então a energia total disponível é m_{K}. Como as massas dos píons são iguais, cada píon sai com a mesma energia: E^{*}_{\pi}=\frac{m_{K}}{2}=\frac{497{,}7}{2}=248{,}85\\ \mathrm{MeV}.
  • O fator \gamma no CM para cada píon: \gamma_{\pi}^{(\text{CM})}=\frac{E^{*}_{\pi}}{m_{\pi}}=\frac{248{,}85}{139{,}6}\approx 1{,}7826.
  • A velocidade (módulo) de cada píon no CM: \beta_{\pi}^{(\text{CM})}=\sqrt{1-\frac{1}{(\gamma_{\pi}^{(\text{CM})})^{2}}} \approx\sqrt{1-\frac{1}{(1{,}7826)^{2}}}\approx 0{,}828.Assim, v_{\pi}^{(\text{CM})}\approx 0{,}828\,c.
  • Observação didática final: no CM os dois píons têm velocidades de mesmo módulo e sentidos opostos; a energia cinética de cada um no CM é T^{*}=E^{*}_{\pi}-m_{\pi}\approx 109{,}25\\ \mathrm{MeV} (apenas para referência).

Resposta

a) T_{\pi}^{(\text{lab})}=608{,}0\\ \mathrm{MeV},\quad v_{\pi}^{(\text{lab})}=0{,}982\,c
a) T_{K}=389{,}5\\ \mathrm{MeV},\quad v_{K}=0{,}828\,c
b) v_{\pi}^{(\text{CM})}=0{,}828\,c

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