Considere uma pessoa em pé em uma sala mantida a 20^{\circ} \mathrm{C}. As superfícies internas de paredes, pisos e teto da casa estavam a uma temperatura média de 17^{\circ} \mathrm{C} no inverno e 26^{\circ} \mathrm{C} no verão. Determine as taxas de transferência de calor por radiação entre essa pessoa e as superfícies em seu entorno no verão e no inverno, considerando que a área de superfície exposta, a emissividade e a temperatura média da superfície exposta da pessoa são 1,6 \mathrm{~m} 2,0,95 e 32^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (lista clara e sem resolver nada ainda):
  • Pede: determinar as taxas de transferência de calor por radiação entre a pessoa e as superfícies em seu entorno nas duas situações (inverno e verão).
  • Dados fornecidos:
    • Área de superfície exposta da pessoa: A = 1,6\\ \mathrm{m}^2.
    • Emissividade da superfície exposta da pessoa: \varepsilon = 0,95.
    • Temperatura média da superfície exposta da pessoa: 32^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura média das superfícies do entorno no inverno: 17^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura média das superfícies do entorno no verão: 26^{\circ}\mathrm{C}.
    • A sala é mantida a 20^{\circ}\mathrm{C} (informação fornecida, mas a troca radiativa depende da temperatura das superfícies do entorno, que são dadas).
  • O que preciso calcular: a taxa de calor por radiação líquida \dot{Q}_{\text{rad}} da pessoa para as superfícies, em cada caso (unidade: watts, \mathrm{W}).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A radiação térmica emitida por uma superfície a temperatura T (em Kelvin) obedece à lei de Stefan–Boltzmann: a potência emitida por unidade de área de um corpo ideal (corpo negro) é \sigma T^{4}, onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann.
  • Para superfícies reais usa-se a emissividade \varepsilon (valor entre 0 e 1) que reduz a emissão do corpo negro: emissão por área = \varepsilon \sigma T^{4}.
  • Para o balanço líquido entre duas superfícies grandes com fator de vista apropriado (aqui assumimos que a pessoa “vê” efetivamente as superfícies do entorno e que podemos usar a aproximação simples), a taxa líquida de radiação trocada é
\dot{Q}_{\text{rad}} = \varepsilon\,A\,\sigma\left(T_{\text{p}}^{4}-T_{\text{s}}^{4}\right),
onde:
  • A é a área da pessoa exposta ( \mathrm{m}^2),
  • \varepsilon é a emissividade da pessoa (adotada igual à emissividade efetiva do par pessoa–ambiente na aproximação),
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma = 5,670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}},
  • T_{\text{p}} é a temperatura absoluta (Kelvin) da superfície da pessoa,
  • T_{\text{s}} é a temperatura absoluta (Kelvin) média das superfícies que a rodeiam.
  • Observação didática: a forma \left(T_{\text{p}}^{4}-T_{\text{s}}^{4}\right) dá o fluxo líquido: se T_{\text{p}}>T_{\text{s}} a pessoa perde calor por radiação (valor positivo para \dot{Q}_{\text{rad}} no nosso sinal; se preferir sinal de perda, diz-se “perda de X W”).

Passo 3

Converter todas as temperaturas para Kelvin (explicando como e por que):
  • Regra: T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273,15.
  • Temperatura da pessoa: T_{\text{p}} = 32^{\circ}\mathrm{C} = 32 + 273,15 = 305,15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura das superfícies no inverno: T_{\text{s, inverno}} = 17^{\circ}\mathrm{C} = 17 + 273,15 = 290,15\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura das superfícies no verão: T_{\text{s, verão}} = 26^{\circ}\mathrm{C} = 26 + 273,15 = 299,15\\ \mathrm{K}.ã

Passo 4

Calcular o coeficiente multiplicativo \varepsilon A \sigma (para simplificar os cálculos):
  • Primeiro, anotar \sigma = 5,670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • Calculemos
C \equiv \varepsilon\,A\,\sigma = 0,95 \cdot 1,6 \cdot 5,670374419\times10^{-8}.
  • Passo a passo: 0,95\cdot 1,6 = 1,52,
C = 1,52 \cdot 5,670374419\times10^{-8} \approx 8,61896911688\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,K^{-4}}.
  • Portanto usaremos C \approx 8,6189691\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,K^{-4}}.

Passo 5

Cálculo detalhado para o inverno ( T_{\text{s}}=290,15\\ \mathrm{K}) — uso de fatorização para evitar elevar números grandes manualmente:
  • Queremos T_{\text{p}}^{4}-T_{\text{s}}^{4}. Use a identidade
a^{4}-b^{4} = (a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2}),
com a=T_{\text{p}}=305,15 e b=T_{\text{s, inverno}}=290,15.
  • Calcule: a-b = 305,15-290,15 = 15,00\\ \mathrm{K},
a+b = 305,15+290,15 = 595,30\\ \mathrm{K},
a^{2} = 305,15^{2} = 93\,116,5225\\ \mathrm{K^{2}},
b^{2} = 290,15^{2} = 84\,187,0225\\ \mathrm{K^{2}},
a^{2}+b^{2} = 93\,116,5225 + 84\,187,0225 = 177\,303,545\\ \mathrm{K^{2}}.
  • Agora: T_{\text{p}}^{4}-T_{\text{s}}^{4} = 15,00 \cdot 595,30 \cdot 177\,303,545 \approx 1{,}583232005\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.
  • Finalmente a taxa de radiação: \dot{Q}_{\text{rad,inverno}} = C\left(T_{\text{p}}^{4}-T_{\text{s}}^{4}\right) \approx 8,6189691\times10^{-8}\cdot 1{,}583232005\times10^{9}.
\dot{Q}_{\text{rad,inverno}} \approx 136{,}46\\ \mathrm{W}.
  • Interpretação: como T_{\text{p}}>T_{\text{s}}, este valor é a potência líquida perdida por radiação da pessoa para as superfícies no inverno (ou seja, a pessoa perde cerca de 136{,}5\\ \mathrm{W} por radiação).

Passo 6

Cálculo detalhado para o verão ( T_{\text{s}}=299,15\\ \mathrm{K}) — mesma técnica:
  • Use a=T_{\text{p}}=305,15 e b=T_{\text{s, verão}}=299,15ã.
  • Calcule: a-b = 305,15-299,15 = 6,00\\ \mathrm{K},
a+b = 305,15+299,15 = 604,30\\ \mathrm{K},
b^{2} = 299,15^{2} = 89\,490,7225\\ \mathrm{K^{2}},
a^{2}+b^{2} = 93\,116,5225 + 89\,490,7225 = 182\,607,245\\ \mathrm{K^{2}}.
  • Agora: T_{\text{p}}^{4}-T_{\text{s}}^{4} = 6{,}00 \cdot 604{,}30 \cdot 182\,607,245 \approx 6{,}620973489\times10^{8}\\ \mathrm{K^{4}}.
  • Taxa de radiação: \dot{Q}_{\text{rad,verão}} = C\left(T_{\text{p}}^{4}-T_{\text{s}}^{4}\right) \approx 8,6189691\times10^{-8}\cdot 6{,}620973489\times10^{8}.ã
\dot{Q}_{\text{rad,verão}} \approx 57{,}07\\ \mathrm{W}.ã
  • Interpretação: novamente T_{\text{p}}>T_{\text{s}}, então a pessoa perde por radiação aproximadamente 57{,}1\\ \mathrm{W} no verão (menor que no inverno porque as superfícies estão mais quentes).

Passo 7

Verificação rápida de unidades e sentido físico:
  • Unidades: C tem unidades \mathrm{W\,K^{-4}}, o termo \left(T_{\text{p}}^{4}-T_{\text{s}}^{4}\right) tem unidades \mathrm{K^{4}}, logo \dot{Q} fica em \mathrm{W}. OK.
  • Sinal: como usamos T_{\text{p}}^{4}-T_{\text{s}}^{4}>0, os valores calculados são perdas de calor da pessoa por radiação (valores positivos significam potência que a pessoa entrega ao entorno por radiação).

Resposta

Inverno: \dot{Q}_{\text{rad}} \approx 136{,}5\\ \mathrm{W}
Verão: \dot{Q}_{\text{rad}} \approx 57{,}1\\ \mathrm{W}

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