As superfícies interna e externa de uma janela de vidro de 0,5 \mathrm{~cm} de espessura e área de 2 m por 2 m no inverno de Igatu têm 17^{\circ} \mathrm{C} e 10^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Considerando que a condutividade térmica do vidro é 0,78 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}), determine a taxa de calor que sai através do vidro. Obtenha a quantidade de calor que sai ao longo de um período de 5 h . Qual seria suas respostas se a espessura do vidro fosse de 1 cm ?

Passo 1

Dados fornecidos (pegue estes números do enunciado):
  • Espessura do vidro inicial: 0{,}5\\ \mathrm{cm}.
  • Área da janela: 2\\ \mathrm{m}\times 2\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da superfície interna: 17^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície externa: 10^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do vidro: 0{,}78\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
    O enunciado pede:
  1. Determinar a taxa de calor (potência térmica) que sai através do vidro para a espessura de 0{,}5\\ \mathrm{cm}.
  2. Calcular a quantidade de calor que sai ao longo de 5\\ \mathrm{h} (para essa espessura).
  3. Repetir 1) e 2) se a espessura do vidro for 1{,}0\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Quando o transporte de calor através de uma placa plana por condução atinge regime estacionário e as superfícies têm temperaturas constantes, a lei de Fourier para condução unidimensional dá a taxa de calor:
\dot Q = -k A \frac{dT}{dx}.
  • Para uma placa com temperatura T_1 numa face e T_2 na outra face, assumindo gradiente linear de temperatura, a expressão integrada fica
\dot Q = k A \frac{T_1-T_2}{L},
onde:
  • \dot Q é a taxa de calor (potência) em watts \mathrm{(W)},
  • k é a condutividade térmica do material em \mathrm{W/(m\,K)},
  • A é a área através da qual o calor flui em \mathrm{m^2},
  • T_1 e T_2 são as temperaturas das superfícies em ^\circ\mathrm{C} ou \mathrm{K} (diferença de temperatura é a mesma em ambas unidades),
  • L é a espessura da placa em metros \mathrm{(m)}.
  • Observação prática: diferenças em ^\circ\mathrm{C} e em \mathrm{K} são numericamente iguais, então usar \Delta T = 17^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C}=7\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Preparação dos valores para o caso L=0{,}5\\ \mathrm{cm}:
  • Converter espessura para metros:
L = 0{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}5\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Área:
A = 2\\ \mathrm{m}\times2\\ \mathrm{m} = 4\\ \mathrm{m^2}.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = 17^\circ\mathrm{C}-10^\circ\mathrm{C} = 7\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Cálculo da taxa de calor para L=0{,}5\\ \mathrm{cm}:
  • Substituindo na fórmula
\dot Q = k A \frac{\Delta T}{L}
com k=0{,}78\\ \mathrm{W/(m\,K)}, A=4\\ \mathrm{m^2}, \Delta T=7\\ \mathrm{K}, L=0{,}005\\ \mathrm{m}:
\dot Q = 0{,}78 \times 4 \times \frac{7}{0{,}005}.
  • Calcule passo a passo:
0{,}78\times4 = 3{,}12,
3{,}12\times7 = 21{,}84,
\dot Q = \frac{21{,}84}{0{,}005} = 4368\\ \mathrm{W}.
Portanto a taxa de calor é \dot Q = 4368\\ \mathrm{W}. (Unidades: o numerador está em \mathrm{W\cdot m} dividido por \mathrm{m} resulta em \mathrm{W}.)

Passo 5

Quantidade de calor que sai em 5\\ \mathrm{h} para L=0{,}5\\ \mathrm{cm}:
  • Converter tempo para segundos (para obter joules) ou usar horas para obter Wh. Primeiro em segundos:
t = 5\\ \mathrm{h} = 5\times3600\\ \mathrm{s} = 18000\\ \mathrm{s}.
  • Energia (calor) em joules:
Q = \dot Q \, t = 4368\\ \mathrm{W}\times18000\\ \mathrm{s}.
  • Calcule:
4368\times18000 = 4368\times(18\times1000) = (4368\times18)\times1000.
4368\times18 = 4368\times(20-2)=87360-8736=78624.
Q = 78624\times1000 = 78\,624\,000\\ \mathrm{J} = 7{,}8624\times10^{7}\\ \mathrm{J}.
  • Em unidades mais usuais (quilowatt-hora):
Q = \dot Q \times 5\\ \mathrm{h} = 4368\\ \mathrm{W}\times5\\ \mathrm{h} = 21840\\ \mathrm{Wh} = 21{,}84\\ \mathrm{kWh}.

Passo 6

Repetir para a espessura L=1{,}0\\ \mathrm{cm}:
  • Converter espessura:
L = 1{,}0\\ \mathrm{cm} = 1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Mesmos k=0{,}78\\ \mathrm{W/(m\,K)}, A=4\\ \mathrm{m^2}, \Delta T=7\\ \mathrm{K}.
  • Taxa de calor:
\dot Q = 0{,}78\times4\times\frac{7}{0{,}01}.
Cálculo:
0{,}78\times4 = 3{,}12,
3{,}12\times7 = 21{,}84,
\dot Q = \frac{21{,}84}{0{,}01} = 2184\\ \mathrm{W}.
Portanto \dot Q = 2184\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Quantidade de calor em 5\\ \mathrm{h} para L=1{,}0\\ \mathrm{cm}:
  • Tempo t=18000\\ \mathrm{s} como antes.
Q = \dot Q \, t = 2184\\ \mathrm{W}\times18000\\ \mathrm{s}.
Cálculo:
2184\times18000 = (2184\times18)\times1000.
2184\times18 = 2184\times(20-2)=43680-4368=39312.
Q = 39312\times1000 = 39\,312\,000\\ \mathrm{J} = 3{,}9312\times10^{7}\\ \mathrm{J}.
  • Em \mathrm{kWh}:
Q = 2184\\ \mathrm{W}\times5\\ \mathrm{h} = 10920\\ \mathrm{Wh} = 10{,}92\\ \mathrm{kWh}.

Passo 8

Comentários finais (didáticos e motivadores):
  • Ao dobrar a espessura do vidro de 0{,}5\\ \mathrm{cm} para 1{,}0\\ \mathrm{cm}, a taxa de calor se aproxima de metade, como a fórmula \dot Q \propto 1/L indica. Isso é intuitivo: mais material = mais resistência à condução.
  • Assumimos regime estacionário e que a resistência térmica de contato com o ar (convecção) nas superfícies é desprezível ou já incorporada nas temperaturas dadas das superfícies. Em problemas reais, se as temperaturas declaradas fossem as do ar ambiente e não das superfícies do vidro, deveria ser considerada resistência convectiva adicional.
  • Força: você já dominou a aplicação direta da lei de Fourier para uma placa — passo importante para prova. Vai dar certo!

Resposta

\dot Q_{L=0{,}5\\ \mathrm{cm}} = 4368\\ \mathrm{W}
Q_{L=0{,}5\\ \mathrm{cm},\,5\\ \mathrm{h}} = 7{,}8624\times10^{7}\\ \mathrm{J} = 21{,}84\\ \mathrm{kWh}
\dot Q_{L=1{,}0\\ \mathrm{cm}} = 2184\\ \mathrm{W}
Q_{L=1{,}0\\ \mathrm{cm},\,5\\ \mathrm{h}} = 3{,}9312\times10^{7}\\ \mathrm{J} = 10{,}92\\ \mathrm{kWh}

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