Um tubo horizontal de aço com diâmetro externo de 3,81 \mathrm{~cm} está à temperatura de 180^{\circ} \mathrm{C} na sua superfície externa. Determine a perda de calor por metro de comprimento do tubo, considerando somente a transferência de calor por radiação. Assumir que a emissividade da superfície do tubo é 0,75 e o tubo está exposto a uma temperatura ambiente de 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pedido: determinar a perda de calor por unidade de comprimento (por metro) do tubo, considerando apenas radiação.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro externo do tubo: D = 3{,}81\\ \mathrm{cm}.
    • Temperatura da superfície do tubo: T_s = 180^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura ambiente (envolvente): T_\infty = 25^\circ\mathrm{C}.
    • Emissividade da superfície: \epsilon = 0{,}75.
    • Considerar somente transferência por radiação (sem convecção).
  • Lembrete prático: queremos a perda de calor por metro de comprimento, isto é q' em \mathrm{W/m}.

Passo 2

Fórmula física que vamos usar (lei de Stefan–Boltzmann para superfície cinzenta trocando calor com o ambiente):
q' \;=\; \epsilon\,\sigma\,A'\,\bigl(T_s^4 - T_\infty^4\bigr),
onde:
  • q' é a taxa de perda de calor por unidade de comprimento ( \mathrm{W/m});
  • \epsilon é a emissividade da superfície (adimensional);
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma = 5{,}670374419\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • A' é a área radiante por unidade de comprimento do cilindro (para um cilindro, A'=\pi D, pois a área lateral por comprimento unitário é o perímetro);
  • T_s e T_\infty são as temperaturas absoluta em kelvin.
Explicando em palavras: a radiação líquida por metro é a emissividade vezes a emissão de corpo negro ( \sigma T^4) do corpo menos a do ambiente, vezes a área por metro.

Passo 3

Converter todas as temperaturas para kelvin e o diâmetro para metros:
T_s = 180^\circ\mathrm{C} = 180 + 273{,}15 = 453{,}15\\ \mathrm{K},
T_\infty = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K},
D = 3{,}81\\ \mathrm{cm} = 0{,}0381\\ \mathrm{m}.
A área lateral por metro (perímetro) é
A' = \pi D = \pi \times 0{,}0381\\ \mathrm{m} \approx 0{,}11962\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Para calcular T_s^4 - T_\infty^4 é prático usar a fatoração
T_s^4 - T_\infty^4 = \bigl(T_s^2 - T_\infty^2\bigr)\bigl(T_s^2 + T_\infty^2\bigr).
Primeiro calcular os quadrados:
T_s^2 = (453{,}15)^2 \approx 205\,344{,}9225\\ \mathrm{K^2},
T_\infty^2 = (298{,}15)^2 \approx 88\,893{,}4225\\ \mathrm{K^2}.
Agora:
T_s^2 - T_\infty^2 \approx 205\,344{,}9225 - 88\,893{,}4225 = 116\,451{,}5\\ \mathrm{K^2},
T_s^2 + T_\infty^2 \approx 205\,344{,}9225 + 88\,893{,}4225 = 294\,238{,}345\\ \mathrm{K^2}.
Multiplicando:
T_s^4 - T_\infty^4 \approx 116\,451{,}5 \times 294\,238{,}345 \approx 3{,}426449663\times 10^{10}\\ \mathrm{K^4}.

Passo 5

Calcular a diferença de emissão de corpo negro por unidade de área:
\sigma\bigl(T_s^4 - T_\infty^4\bigr) = 5{,}670374419\times 10^{-8}\times 3{,}426449663\times 10^{10}.
Fazendo a multiplicação:
\sigma\bigl(T_s^4 - T_\infty^4\bigr) \approx 1{,}942{,}925\\ \mathrm{W/m^2}.
(Isto é a diferença de emissão entre superfície e ambiente por metro quadrado.)

Passo 6

Aplicar a emissividade e a área por metro (perímetro) para obter q':
q' = \epsilon\;\bigl[\sigma\bigl(T_s^4 - T_\infty^4\bigr)\bigr]\;A'.
Substituindo números:
\epsilon\;\sigma\bigl(T_s^4 - T_\infty^4\bigr) = 0{,}75\times 1{,}942{,}925\\ \mathrm{W/m^2} \approx 1{,}457{,}194\\ \mathrm{W/m^2},
q' = 1{,}457{,}194\\ \mathrm{W/m^2}\times 0{,}11962\\ \mathrm{m} \approx 174{,}31\\ \mathrm{W/m}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica de prova: o tubo perde por radiação cerca de 1{,}7\times 10^{2}\\ \mathrm{W} por metro. Em prova, faça a conversão para kelvin, use A'=\pi D para cilindros por unidade de comprimento e aplique direto a fórmula de Stefan–Boltzmann com a emissividade. Se precisar de menos casas, arredonde para três algarismos significativos.

Resposta

174{,}3\\ \mathrm{W/m}

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