Uma conta desliza ao longo de uma haste retilínea lisa que gira com velocidade angular constante \omega, num plano horizontal (ou seja, perpendicular ao campo gravitacional terrestre).
a) Descrever o movimento da conta pelo formalismo de Hamilton.
b) Determinar se a hamiltoniana associada ao movimento da conta respresenta a energia mecânica total dela.
c) Determinar se a energia mecânica total da conta é uma integral de movimento ou não.

Passo 1

O enunciado dá uma conta (massa m) que desliza sem atrito sobre uma haste retilínea que gira com velocidade angular constante \omega num plano horizontal. A haste impõe a restrição de que a coordenada angular da conta seja igual à posição angular da haste, isto é \theta(t)=\omega t. O que se pede:
  • (a) Descrever o movimento da conta pelo formalismo de Hamilton: escolher coordenadas generalizadas, obter a hamiltoniana H e escrever as equações de Hamilton.
  • (b) Verificar se a hamiltoniana H coincide com a energia mecânica total da conta.
  • (c) Verificar se a energia mecânica total da conta é uma integral do movimento (isto é, se é conservada).
Informações relevantes fornecidas:
  • Massa da conta: m.
  • Velocidade angular da haste (constante): \omega.
  • Movimento ocorre num plano horizontal (gravidade não entra como energia potencial relevante).
  • Deslizamento sem atrito ao longo da haste (sem forças dissipativas).
  • A haste impõe \theta(t)=\omega t (restrição holônoma que fixa \theta como função do tempo).

Passo 2

Escolha da coordenada generalizada e justificativa didática.
Como a conta fica sempre sobre a haste retilínea e a única liberdade é mover-se ao longo dela, é natural escolher a coordenada radial
r
como a coordenada generalizada (distância da conta ao eixo de rotação). A coordenada angular é conhecida a priori: \theta(t)=\omega t. Assim o sistema fica com uma única coordenada dinâmica r(t). Isso simplifica a análise e é a escolha mínima para aplicar Lagrange/Hamilton.

Passo 3

Expressar a posição e a velocidade em coordenadas polares — derivação passo a passo.
Em coordenadas polares (origem no eixo de rotação) a posição da conta é
\mathbf{r} = r\big(\cos\theta,\\ \sin\theta\big), \qquad \theta(t)=\omega t.
Para obter a velocidade, derivamos em relação ao tempo; lembre que \dot\theta=\omega (constante). Calculando:
\dot{\mathbf{r}} = \dot r\big(\cos\theta,\\ \sin\theta\big) + r\dot\theta\big(-\sin\theta,\\ \cos\theta\big).
O quadrado da velocidade (produto escalar) é
v^2 = \dot r^{\,2} + r^2\dot\theta^{\,2}.
Substituindo \dot\theta=\omega obtemos
v^2 = \dot r^{\,2} + r^2\omega^2.
Isso é intuitivo: há uma componente radial \dot r e uma componente tangencial r\omega devido à rotação da haste.

Passo 4

Energia cinética, potencial e Lagrangiano.
Não há energia potencial gravitacional útil (plano horizontal), nem atrito, então a energia potencial física é V=0. A energia cinética é
T = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12 m\big(\dot r^{\,2} + r^2\omega^2\big).
O Lagrangiano é
L = T - V = \tfrac12 m\big(\dot r^{\,2} + r^2\omega^2\big).
Observe que o termo \tfrac12 m r^2\omega^2 aparece em L por causa do movimento tangencial imposto pela haste.

Passo 5

Cálculo do momento conjugado e interpretação.
O momento conjugado à coordenada r é por definição
p \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot r}.
Calculando:
p = m\dot r.
Interpretação física: p é simplesmente o momento linear radial da conta (massa vezes velocidade radial).

Passo 6

Construção da hamiltoniana por transformada de Legendre — conta passo a passo.
A hamiltoniana é definida por
H(r,p,t) = p\dot r - L,
onde \dot r deve ser escrita em função de p (inversão da relação p=m\dot r). Substituindo \dot r = p/m e L:
H = p\cdot\frac{p}{m} - \tfrac12 m\Big(\Big(\frac{p}{m}\Big)^{2} + r^2\omega^2\Big).
Fazendo as contas:
H = \frac{p^2}{m} - \tfrac12 m\Big(\frac{p^2}{m^2} + r^2\omega^2\Big) = \frac{p^2}{2m} - \tfrac12 m r^2\omega^2.
Portanto a hamiltoniana canônica do sistema reduzido é
\boxed{H(r,p)=\dfrac{p^2}{2m} - \dfrac{1}{2}m r^2\omega^2.}
Comentário didático: note que o termo dependente de r aparece com sinal negativo. Isso ocorre porque, ao eliminar a coordenada angular fixando \theta=\omega t, o termo r^2\omega^2 — originalmente parte da energia cinética — passa a comportar-se formalmente como uma “energia potencial” negativa na expressão de H. É uma consequência de como a transformada de Legendre identifica termos dependentes de \dot r e de r.

Passo 7

Equações de Hamilton (passo a passo) e segunda ordem equivalente.
As equações canônicas são
\dot r = \frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot p = -\frac{\partial H}{\partial r}.
Calculando as derivadas:
\dot r = \frac{p}{m}, \qquad \dot p = -\Big(-m r\omega^2\Big)=m r\omega^2.
Da primeira obtemos p=m\dot r. Diferenciando essa igualdade no tempo:
\dot p = m\ddot r.
Igualando com a expressão obtida para \dot p temos a equação diferencial de movimento
m\ddot r = m r\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad \ddot r = r\omega^2.
Isso é equivalente ao resultado que se obteria aplicando as equações de Lagrange (Euler–Lagrange) diretamente. Física: a aceleração radial é proporcional a r e aponta para fora (sinal positivo) — a conta é submetida, no quadro inercial, a uma aceleração centrífuga efetiva que a impulsiona para longe do eixo.

Passo 8

Interpretação física do sinal e da dinâmica qualitativa.
A equação \ddot r = r\omega^2 é uma equação linear com solução exponencial (não harmônica):
r(t) = A e^{\omega t} + B e^{-\omega t},
onde A,B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Isto indica que, se a conta estiver um pouco afastada e com velocidade radial para fora, ela tende a afastar-se cada vez mais (instabilidade), o que faz sentido fisicamente: a rotação tende a lançar a conta para fora da haste. Não há força restauradora que volte a conta para o centro.

Passo 9

Comparação entre a hamiltoniana e a energia mecânica total — cálculo explícito.
A energia mecânica total (energia cinética, pois V=0) é
E_{\text{mec}} = T = \tfrac12 m\big(\dot r^{\,2} + r^2\omega^2\big).
Expressa em termos de p=m\dot r:
E_{\text{mec}} = \frac{p^2}{2m} + \tfrac12 m r^2\omega^2.
Compare com a hamiltoniana que encontramos:
H(r,p) = \frac{p^2}{2m} - \tfrac12 m r^2\omega^2.
Portanto
H \neq E_{\text{mec}}.
Especificamente,
H = \frac{p^2}{2m} - \tfrac12 m r^2\omega^2, \qquad E_{\text{mec}} = \frac{p^2}{2m} + \tfrac12 m r^2\omega^2.
Comentário didático: a diferença é justamente o sinal do termo com r^2\omega^2. O termo +\tfrac12 m r^2\omega^2 em E_{\text{mec}} é a energia cinética associada ao movimento tangencial r\omega. Na construção canônica, esse termo ficou com sinal negativo, porque passou a se comportar como uma “potencial efetivo” negativo ao eliminar a coordenada angular. Em consequência, a hamiltoniana canônica aqui não coincide com a energia mecânica real da partícula.

Passo 10

Conservação (ou não) da energia mecânica — cálculo do d/dt de E_{\text{mec}}.
Calculemos a derivada temporal de E_{\text{mec}}:
\frac{dE_{\text{mec}}}{dt} = m\dot r\ddot r + m r \dot r\,\omega^2 = m\dot r\big(\ddot r + r\omega^2\big).
Usando a equação de movimento \ddot r = r\omega^2, obtemos
\frac{dE_{\text{mec}}}{dt} = m\dot r\big(r\omega^2 + r\omega^2\big) = 2m r\omega^2\dot r.
No geral isto não é zero (exceto em casos particulares, por exemplo \dot r=0 ou r=0 identicamente). Portanto a energia mecânica total não é conservada: ela varia ao longo do movimento. Físicamente isto ocorre porque a haste que gira (provavelmente acionada por um motor) realiza trabalho sobre a conta (ou retira trabalho dela), fornecendo ou extraindo energia do sistema livre da conta. A força de restrição exercida pela haste faz trabalho sobre a conta quando há movimento radial relativo.

Passo 11

Conservação da hamiltoniana canônica — verificação.
A hamiltoniana que obtivemos não depende explicitamente do tempo (pois \omega é constante e H depende só de r,p). Pelo teorema geral, quando \partial H/\partial t = 0 e as equações de Hamilton são usadas, H é constante ao longo das trajetórias:
\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} = 0.
Verificação direta usando as equações de movimento: escrevendo H em termos de \dot r,
H = \tfrac12 m\dot r^{\,2} - \tfrac12 m r^2\omega^2,
temos
\frac{dH}{dt} = m\dot r\ddot r - m r\omega^2\dot r = m\dot r\big(\ddot r - r\omega^2\big),
e pela equação de movimento \ddot r - r\omega^2=0 segue \dfrac{dH}{dt}=0. Portanto a hamiltoniana canônica é conservada ao longo do movimento e é uma integral do movimento.
Físicamente: mesmo que a energia mecânica real não seja conservada (pois há troca de energia com o mecanismo que gira a haste), a hamiltoniana canônica do sistema reduzido é uma constante formal associada às variáveis dinâmicas escolhidas.

Passo 12

Interpretação final e observações úteis para prova (resumo em palavras simples).
  • A coord. ligeira é r; ao impor \theta=\omega t a dinâmica reduz-se a um grau de liberdade com Lagrangiano L=\tfrac12 m(\dot r^{2}+r^{2}\omega^{2}).
  • A hamiltoniana canônica obtida por Legendre é H=\dfrac{p^2}{2m}-\dfrac12 m r^2\omega^2 com p=m\dot r.
  • As equações de Hamilton equivalem à equação de movimento \ddot r = r\omega^2.
  • A hamiltoniana canônica é conservada (é uma integral do movimento), mas não coincide com a energia mecânica física E_{\text{mec}}=\tfrac12 m(\dot r^{2}+r^{2}\omega^{2}).
  • A energia mecânica física não é conservada porque a haste que impõe \theta(t)=\omega t realiza trabalho sobre a conta (troca de energia com mecanismo externo).

Resposta

(a) A hamiltoniana canônica é \displaystyle H(r,p)=\frac{p^2}{2m}-\frac{1}{2}m r^2\omega^2 com momento conjugado p=m\dot r. As equações de Hamilton são \displaystyle \dot r=\frac{p}{m},\quad \dot p=m r\omega^2, equivalentes à EDO \displaystyle \ddot r = r\omega^2.
(b) Não. A hamiltoniana canônica não representa a energia mecânica total; a energia mecânica é \displaystyle E_{\text{mec}}=\tfrac12 m(\dot r^{2}+r^{2}\omega^{2}), diferente de H.
(c) A energia mecânica total \displaystyle E_{\text{mec}} não é uma integral do movimento (não é conservada). A hamiltoniana canônica H é conservada.

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