Uma conta desliza ao longo de uma haste retilínea lisa que gira com velocidade angular constante
, num plano horizontal (ou seja, perpendicular ao campo gravitacional terrestre).
a) Descrever o movimento da conta pelo formalismo de Hamilton.
b) Determinar se a hamiltoniana associada ao movimento da conta respresenta a energia mecânica total dela.
c) Determinar se a energia mecânica total da conta é uma integral de movimento ou não.
a) Descrever o movimento da conta pelo formalismo de Hamilton.
b) Determinar se a hamiltoniana associada ao movimento da conta respresenta a energia mecânica total dela.
c) Determinar se a energia mecânica total da conta é uma integral de movimento ou não.
Passo 1
O enunciado dá uma conta (massa
) que desliza sem atrito sobre uma haste retilínea que gira com velocidade angular constante
num plano horizontal. A haste impõe a restrição de que a coordenada angular da conta seja igual à posição angular da haste, isto é
. O que se pede:
- (a) Descrever o movimento da conta pelo formalismo de Hamilton: escolher coordenadas generalizadas, obter a hamiltoniana
e escrever as equações de Hamilton. - (b) Verificar se a hamiltoniana
coincide com a energia mecânica total da conta. - (c) Verificar se a energia mecânica total da conta é uma integral do movimento (isto é, se é conservada).
Informações relevantes fornecidas:
- Massa da conta:
. - Velocidade angular da haste (constante):
. - Movimento ocorre num plano horizontal (gravidade não entra como energia potencial relevante).
- Deslizamento sem atrito ao longo da haste (sem forças dissipativas).
- A haste impõe
(restrição holônoma que fixa como função do tempo).
Passo 2
Escolha da coordenada generalizada e justificativa didática.
Como a conta fica sempre sobre a haste retilínea e a única liberdade é mover-se ao longo dela, é natural escolher a coordenada radial
como a coordenada generalizada (distância da conta ao eixo de rotação). A coordenada angular é conhecida a priori:
. Assim o sistema fica com uma única coordenada dinâmica
. Isso simplifica a análise e é a escolha mínima para aplicar Lagrange/Hamilton.
Passo 3
Expressar a posição e a velocidade em coordenadas polares — derivação passo a passo.
Em coordenadas polares (origem no eixo de rotação) a posição da conta é
Para obter a velocidade, derivamos em relação ao tempo; lembre que
(constante). Calculando:
O quadrado da velocidade (produto escalar) é
Substituindo
obtemos
Isso é intuitivo: há uma componente radial
e uma componente tangencial
devido à rotação da haste.
Passo 4
Energia cinética, potencial e Lagrangiano.
Não há energia potencial gravitacional útil (plano horizontal), nem atrito, então a energia potencial física é
. A energia cinética é
O Lagrangiano é
Observe que o termo
aparece em
por causa do movimento tangencial imposto pela haste.
Passo 5
Cálculo do momento conjugado e interpretação.
O momento conjugado à coordenada
é por definição
Calculando:
Interpretação física:
é simplesmente o momento linear radial da conta (massa vezes velocidade radial).
Passo 6
Construção da hamiltoniana por transformada de Legendre — conta passo a passo.
A hamiltoniana é definida por
onde
deve ser escrita em função de
(inversão da relação
). Substituindo
e
:
Fazendo as contas:
Portanto a hamiltoniana canônica do sistema reduzido é
Comentário didático: note que o termo dependente de
aparece com sinal negativo. Isso ocorre porque, ao eliminar a coordenada angular fixando
, o termo
— originalmente parte da energia cinética — passa a comportar-se formalmente como uma “energia potencial” negativa na expressão de
. É uma consequência de como a transformada de Legendre identifica termos dependentes de
e de
.
Passo 7
Equações de Hamilton (passo a passo) e segunda ordem equivalente.
As equações canônicas são
Calculando as derivadas:
Da primeira obtemos
. Diferenciando essa igualdade no tempo:
Igualando com a expressão obtida para
temos a equação diferencial de movimento
Isso é equivalente ao resultado que se obteria aplicando as equações de Lagrange (Euler–Lagrange) diretamente. Física: a aceleração radial é proporcional a
e aponta para fora (sinal positivo) — a conta é submetida, no quadro inercial, a uma aceleração centrífuga efetiva que a impulsiona para longe do eixo.
Passo 8
Interpretação física do sinal e da dinâmica qualitativa.
A equação
é uma equação linear com solução exponencial (não harmônica):
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Isto indica que, se a conta estiver um pouco afastada e com velocidade radial para fora, ela tende a afastar-se cada vez mais (instabilidade), o que faz sentido fisicamente: a rotação tende a lançar a conta para fora da haste. Não há força restauradora que volte a conta para o centro.
Passo 9
Comparação entre a hamiltoniana e a energia mecânica total — cálculo explícito.
A energia mecânica total (energia cinética, pois
) é
Expressa em termos de
:
Compare com a hamiltoniana que encontramos:
Portanto
Especificamente,
Comentário didático: a diferença é justamente o sinal do termo com
. O termo
em
é a energia cinética associada ao movimento tangencial
. Na construção canônica, esse termo ficou com sinal negativo, porque passou a se comportar como uma “potencial efetivo” negativo ao eliminar a coordenada angular. Em consequência, a hamiltoniana canônica aqui não coincide com a energia mecânica real da partícula.
Passo 10
Conservação (ou não) da energia mecânica — cálculo do d/dt de
.
Calculemos a derivada temporal de
:
Usando a equação de movimento
, obtemos
No geral isto não é zero (exceto em casos particulares, por exemplo
ou
identicamente). Portanto a energia mecânica total não é conservada: ela varia ao longo do movimento. Físicamente isto ocorre porque a haste que gira (provavelmente acionada por um motor) realiza trabalho sobre a conta (ou retira trabalho dela), fornecendo ou extraindo energia do sistema livre da conta. A força de restrição exercida pela haste faz trabalho sobre a conta quando há movimento radial relativo.
Passo 11
Conservação da hamiltoniana canônica — verificação.
A hamiltoniana que obtivemos não depende explicitamente do tempo (pois
é constante e
depende só de
). Pelo teorema geral, quando
e as equações de Hamilton são usadas,
é constante ao longo das trajetórias:
Verificação direta usando as equações de movimento: escrevendo
em termos de
,
temos
e pela equação de movimento
segue
. Portanto a hamiltoniana canônica é conservada ao longo do movimento e é uma integral do movimento.
Físicamente: mesmo que a energia mecânica real não seja conservada (pois há troca de energia com o mecanismo que gira a haste), a hamiltoniana canônica do sistema reduzido é uma constante formal associada às variáveis dinâmicas escolhidas.
Passo 12
Interpretação final e observações úteis para prova (resumo em palavras simples).
- A coord. ligeira é
; ao impor a dinâmica reduz-se a um grau de liberdade com Lagrangiano . - A hamiltoniana canônica obtida por Legendre é
com . - As equações de Hamilton equivalem à equação de movimento
. - A hamiltoniana canônica é conservada (é uma integral do movimento), mas não coincide com a energia mecânica física
. - A energia mecânica física não é conservada porque a haste que impõe
realiza trabalho sobre a conta (troca de energia com mecanismo externo).
Resposta
(a) A hamiltoniana canônica é
com momento conjugado
. As equações de Hamilton são
, equivalentes à EDO
.
(b) Não. A hamiltoniana canônica não representa a energia mecânica total; a energia mecânica é
, diferente de
.
(c) A energia mecânica total
não é uma integral do movimento (não é conservada). A hamiltoniana canônica
é conservada.