Considere uma pirâmide oblíqua com base retangular de dimensões 5 \times 8 \mathrm{~cm}. Em uma lateral, a distância inclinada (medida ao longo de uma aresta lateral desde o vértice até o vértice da base correspondente) é s=13 \mathrm{~cm} e o ângulo entre essa aresta e o plano da base é \theta=30^{\circ}. Calcule a altura h da pirâmide e o volume.

Passo 1

Enunciado em palavras: temos uma pirâmide oblíqua cuja base é um retângulo de lados 5\\ \text{cm} e 8\\ \text{cm}. Numa aresta lateral (isto é, do vértice da pirâmide até um vértice da base) a medida inclinada é s=13\\ \text{cm}. O ângulo entre essa aresta lateral e o plano da base vale \theta=30^\circ. O problema pede: calcular a altura h da pirâmide (distância perpendicular do vértice ao plano da base) e o volume da pirâmide.
Informações relevantes dadas:
\text{base: }5\times 8\\ \text{cm},\qquad s=13\\ \text{cm},\qquad \theta=30^\circ.
O que precisamos encontrar:
  • h (altura perpendicular)
  • Volume V da pirâmide

Passo 2

Entendendo a geometria e a relação trigonométrica útil (a ideia-chave): ao olhar para a aresta lateral de comprimento s e o plano da base, podemos imaginar o triângulo retângulo formado pela aresta s, pela altura h (projeção perpendicular da aresta sobre a direção vertical) e pela projeção horizontal da aresta sobre o plano da base. Nesse triângulo retângulo, o ângulo entre a aresta s e o plano da base é \theta. Pela definição trigonométrica de seno num triângulo retângulo:
\sin(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
Aqui o cateto oposto é a altura h e a hipotenusa é s. Logo a relação que vamos usar é
\sin(\theta)=\frac{h}{s}\quad\Rightarrow\quad h=s\sin(\theta).
Explicando em palavras simples: o seno dá a componente vertical da aresta quando projetamos a aresta na direção perpendicular ao plano da base. Legal, né? É a mesma ideia de decompor um vetor em vertical e horizontal.

Passo 3

Calcular a altura h usando \sin(\theta). Nós sabemos \theta=30^\circ e \sin(30^\circ)=\tfrac{1}{2}. Aplicando a fórmula h=s\sin(\theta):
h = 13\cdot \sin(30^\circ)=13\cdot \frac{1}{2}.
Fazendo a conta:
h= \frac{13}{2}=6{,}5\\ \text{cm}.

Passo 4

Calcular a área da base A. A base é um retângulo de lados 5\\ \text{cm} e 8\\ \text{cm}, então
A = 5\cdot 8 = 40\\ \text{cm}^2.
Expliquei isso porque o volume da pirâmide usa a área da base.

Passo 5

Fórmula do volume de uma pirâmide e interpretação: o volume V de uma pirâmide é dado por
V=\frac{1}{3}\cdot (\text{área da base})\cdot (\text{altura}).á
Aqui a área da base é A e a altura é h. A ideia é que uma pirâmide ocupa um terço do prisma cujo base é a mesma e altura igual.

Passo 6

Aplicar a fórmula do volume com os valores encontrados. Substituindo A=40\\ \text{cm}^2 e h=6{,}5\\ \text{cm}:
V=\frac{1}{3}\cdot 40\cdot 6{,}5.
Calcule passo a passo: 40\cdot 6{,}5 = 260. Então
V=\frac{260}{3}\\ \text{cm}^3.
Como valor decimal aproximado (útil para comparar com calculadora):
V\approx 86{,}67\\ \text{cm}^3.

Resposta

h=6{,}5\\ \text{cm}
V=\dfrac{260}{3}\\ \text{cm}^3 \approx 86{,}67\\ \text{cm}^3

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