Considere uma pirâmide oblíqua com base retangular de dimensões
. Em uma lateral, a distância inclinada (medida ao longo de uma aresta lateral desde o vértice até o vértice da base correspondente) é
e o ângulo entre essa aresta e o plano da base é
. Calcule a altura
da pirâmide e o volume.
Passo 1
Enunciado em palavras: temos uma pirâmide oblíqua cuja base é um retângulo de lados
e
. Numa aresta lateral (isto é, do vértice da pirâmide até um vértice da base) a medida inclinada é
. O ângulo entre essa aresta lateral e o plano da base vale
. O problema pede: calcular a altura
da pirâmide (distância perpendicular do vértice ao plano da base) e o volume da pirâmide.
Informações relevantes dadas:
O que precisamos encontrar:
-
(altura perpendicular) - Volume
da pirâmide
Passo 2
Entendendo a geometria e a relação trigonométrica útil (a ideia-chave): ao olhar para a aresta lateral de comprimento
e o plano da base, podemos imaginar o triângulo retângulo formado pela aresta
, pela altura
(projeção perpendicular da aresta sobre a direção vertical) e pela projeção horizontal da aresta sobre o plano da base. Nesse triângulo retângulo, o ângulo entre a aresta
e o plano da base é
. Pela definição trigonométrica de seno num triângulo retângulo:
Aqui o cateto oposto é a altura
e a hipotenusa é
. Logo a relação que vamos usar é
Explicando em palavras simples: o seno dá a componente vertical da aresta quando projetamos a aresta na direção perpendicular ao plano da base. Legal, né? É a mesma ideia de decompor um vetor em vertical e horizontal.
Passo 3
Calcular a altura
usando
. Nós sabemos
e
. Aplicando a fórmula
:
Fazendo a conta:
Passo 4
Calcular a área da base
. A base é um retângulo de lados
e
, então
Expliquei isso porque o volume da pirâmide usa a área da base.
Passo 5
Fórmula do volume de uma pirâmide e interpretação: o volume
de uma pirâmide é dado por
Aqui a área da base é
e a altura é
. A ideia é que uma pirâmide ocupa um terço do prisma cujo base é a mesma e altura igual.
Passo 6
Aplicar a fórmula do volume com os valores encontrados. Substituindo
e
:
Calcule passo a passo:
. Então
Como valor decimal aproximado (útil para comparar com calculadora):