Explique a dilatação do espaço na Teoria da Relatividade Especial e mostre que a contração do comprimento é dada por:
l=l_{0} \sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos\n
  • Pede para eu explicar a chamada “dilatação do espaço” (ou melhor: as consequências espaciais da Relatividade Restrita) e, em particular, mostrar que a contração do comprimento é
l = l_{0} \sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}.
  • Informações implícitas que usaremos:
    • c é a velocidade da luz no vácuo (constante universal).
    • Há um objeto (uma barra/haste) com comprimento próprio l_{0}. Por “comprimento próprio” entendemos o comprimento medido no referencial onde a barra está em repouso.
    • O observador que mede o comprimento com resultado l vê a barra se movendo com velocidade u relativa a ele.
  • O objetivo prático: explicar por que um observador que vê a barra em movimento obtém um comprimento l menor que l_{0}, e deduzir a fórmula acima.

Passo 2

Definindo os referenciais e o que significa medir comprimento\n
  • Vamos trabalhar com dois referenciais inerciais:
    • S': referencial no qual a barra está em repouso. As coordenadas neste referencial serão (x',t').
    • S: referencial onde a barra se move com velocidade u. As coordenadas neste referencial serão (x,t).
  • Definições importantes:
    • Comprimento próprio l_{0}: é a distância entre as extremidades medidas no referencial S', medindo as posições das extremidades em instantes que são simultâneos em S'. Como a barra está em repouso em S', as posições das extremidades são constantes e é natural medir l_{0}=x'_2-x'_1.
    • Comprimento observado l: é a distância entre as extremidades medida em S. Para medir l em S o observador deve registrar as posições das duas extremidades ao mesmo instante t (simultaneamente em S), porque comprimento em um referencial é distância entre posições medidas num mesmo tempo daquele referencial.

Passo 3

Por que simultaneidade importa e a ideia qualitativa\n
  • Importante: "simultâneo em S" não significa "simultâneo em S'". A Relatividade Restrita diz que a noção de simultaneidade é relativa: dois eventos simultâneos em S podem não ser simultâneos em S'.
  • Consequência prática: ao medir o comprimento em S nós pegamos dois eventos
    • Evento A: extremidade traseira em posição x_1 no tempo t.
    • Evento B: extremidade dianteira em posição x_2 no mesmo tempo t.
      Esses dois eventos têm \Delta t = 0 em S (mensuramos posições ao mesmo instante em S), mas terão \Delta t' \neq 0 em S'.
  • Como a barra está em repouso em S', suas coordenadas espaciais x'_1 e x'_2 são constantes no tempo t'; portanto l_0 = x'_2 - x'_1 é bem definido. Vamos relacionar as coordenadas dos dois referenciais usando as transformações de Lorentz.

Passo 4

Apresentando a transformação de Lorentz e explicando seus termos\n
  • A transformação de Lorentz (para um referencial S' que se move com velocidade u ao longo do eixo x relativo a S) relaciona (x,t) e (x',t'). Usaremos a forma
x' = \gamma (x - u t)
t' = \gamma \left(t - \frac{u x}{c^{2}}\right)
  • Aqui:
    • \gamma é o fator de Lorentz definido por
    \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}.
    • x e t são as coordenadas de um evento em S; x' e t' são as coordenadas do mesmo evento em S'.
  • Breve explicação didática do porquê desses fórmulas (sem provar rigorosamente): elas surgem impondo que as leis do eletromagnetismo (e em particular a velocidade da luz c) tenham o mesmo valor em todos os referenciais inerciais e assumindo linearidade entre coordenadas. O fator \gamma aparece para garantir que as transformações preservem a combinação c^{2}t^{2}-x^{2} (a “intervalo” invariável).

Passo 5

Como aplicar Lorentz para relacionar os comprimentos\n
  • Considere os dois eventos usados para medir l em S:
    • Evento 1: extremidade traseira registrada em (x_1,t).
    • Evento 2: extremidade dianteira registrada em (x_2,t).
      Note que para ambos usamos o mesmo tempo t em S, pois a medição de comprimento exige simultaneidade em S. Então \Delta t = t - t = 0.
  • Vamos calcular as posições correspondentes em S' usando a transformação espacial:
    • Para o evento 1:
    x'_1 = \gamma (x_1 - u t).
    • Para o evento 2:
    x'_2 = \gamma (x_2 - u t).
  • Subtraindo: x'_2 - x'_1 = \gamma (x_2 - u t) - \gamma (x_1 - u t) = \gamma (x_2 - x_1).
  • Mas x'_2 - x'_1 é exatamente o comprimento próprio l_{0} (porque em S' a barra está em repouso e as posições das extremidades são constantes), e x_2 - x_1 é o comprimento medido em S, que chamamos de l. Portanto: l_{0} = \gamma \, l.

Passo 6

Isolando l e interpretando o fator de contração\n
  • Da relação l_{0} = \gamma \, l isolamos l: l = \frac{l_{0}}{\gamma}.
  • Substituindo a expressão de \gamma temos l = l_{0} \sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}.
  • Interpretação física: \sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}} é um número menor que 1 quando u\neq 0. Assim, um observador que vê a barra em movimento mede um comprimento menor que o comprimento próprio. Isso é a contração do comprimento: quanto mais rápido o objeto move-se (maior u), maior a contração. No limite u\ll c a raiz é aproximadamente 1-\dfrac{1}{2}\dfrac{u^{2}}{c^{2}}, ou seja, efeito desprezível para velocidades cotidianas; só se torna relevante para velocidades próximas a c.
  • Observação sobre simetria: do ponto de vista da Relatividade, se em S' a barra está em repouso e em S ela se move, então S mede l<l_0. De forma simétrica, se em S um observador tem uma barra própria, um observador em S' que vê essa barra movendo-se mede a contração análoga.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar a intuição)\n
  • Suponha u = 0,8\,c. Então \sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}} = \sqrt{1-0,8^{2}} = \sqrt{1-0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6.
  • Se l_{0}=1{,}0\\ \text{m}, o comprimento medido por um observador que vê a barra a 0,8c será l = 1{,}0 \times 0,6 = 0{,}6\\ \text{m}.
  • Isso mostra claramente a ideia: movimento relativístico “encolhe” comprimentos na direção do movimento.

Resposta

l=l_{0} \sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}

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