Explique a dilatação do espaço na Teoria da Relatividade Especial e mostre que a contração do comprimento é dada por:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos\n
- Pede para eu explicar a chamada “dilatação do espaço” (ou melhor: as consequências espaciais da Relatividade Restrita) e, em particular, mostrar que a contração do comprimento é
- Informações implícitas que usaremos:
-
é a velocidade da luz no vácuo (constante universal). - Há um objeto (uma barra/haste) com comprimento próprio
. Por “comprimento próprio” entendemos o comprimento medido no referencial onde a barra está em repouso. - O observador que mede o comprimento com resultado
vê a barra se movendo com velocidade relativa a ele.
-
- O objetivo prático: explicar por que um observador que vê a barra em movimento obtém um comprimento
menor que , e deduzir a fórmula acima.
Passo 2
Definindo os referenciais e o que significa medir comprimento\n
- Vamos trabalhar com dois referenciais inerciais:
-
: referencial no qual a barra está em repouso. As coordenadas neste referencial serão . -
: referencial onde a barra se move com velocidade . As coordenadas neste referencial serão .
-
- Definições importantes:
- Comprimento próprio
: é a distância entre as extremidades medidas no referencial , medindo as posições das extremidades em instantes que são simultâneos em . Como a barra está em repouso em , as posições das extremidades são constantes e é natural medir . - Comprimento observado
: é a distância entre as extremidades medida em . Para medir em o observador deve registrar as posições das duas extremidades ao mesmo instante (simultaneamente em ), porque comprimento em um referencial é distância entre posições medidas num mesmo tempo daquele referencial.
- Comprimento próprio
Passo 3
Por que simultaneidade importa e a ideia qualitativa\n
- Importante: "simultâneo em
" não significa "simultâneo em ". A Relatividade Restrita diz que a noção de simultaneidade é relativa: dois eventos simultâneos em podem não ser simultâneos em . - Consequência prática: ao medir o comprimento em
nós pegamos dois eventos - Evento A: extremidade traseira em posição
no tempo . - Evento B: extremidade dianteira em posição
no mesmo tempo .
Esses dois eventos têmem (mensuramos posições ao mesmo instante em ), mas terão em .
- Evento A: extremidade traseira em posição
- Como a barra está em repouso em
, suas coordenadas espaciais e são constantes no tempo ; portanto é bem definido. Vamos relacionar as coordenadas dos dois referenciais usando as transformações de Lorentz.
Passo 4
Apresentando a transformação de Lorentz e explicando seus termos\n
- A transformação de Lorentz (para um referencial
que se move com velocidade ao longo do eixo relativo a ) relaciona e . Usaremos a forma
- Aqui:
-
é o fator de Lorentz definido por
-
e são as coordenadas de um evento em ; e são as coordenadas do mesmo evento em .
-
- Breve explicação didática do porquê desses fórmulas (sem provar rigorosamente): elas surgem impondo que as leis do eletromagnetismo (e em particular a velocidade da luz
) tenham o mesmo valor em todos os referenciais inerciais e assumindo linearidade entre coordenadas. O fator aparece para garantir que as transformações preservem a combinação (a “intervalo” invariável).
Passo 5
Como aplicar Lorentz para relacionar os comprimentos\n
- Considere os dois eventos usados para medir
em : - Evento 1: extremidade traseira registrada em
. - Evento 2: extremidade dianteira registrada em
.
Note que para ambos usamos o mesmo tempoem , pois a medição de comprimento exige simultaneidade em . Então .
- Evento 1: extremidade traseira registrada em
- Vamos calcular as posições correspondentes em
usando a transformação espacial: - Para o evento 1:
- Para o evento 2:
- Subtraindo:
- Mas
é exatamente o comprimento próprio (porque em a barra está em repouso e as posições das extremidades são constantes), e é o comprimento medido em , que chamamos de . Portanto:
Passo 6
Isolando
e interpretando o fator de contração\n
- Da relação
isolamos : - Substituindo a expressão de
temos - Interpretação física:
é um número menor que 1 quando . Assim, um observador que vê a barra em movimento mede um comprimento menor que o comprimento próprio. Isso é a contração do comprimento: quanto mais rápido o objeto move-se (maior ), maior a contração. No limite a raiz é aproximadamente , ou seja, efeito desprezível para velocidades cotidianas; só se torna relevante para velocidades próximas a . - Observação sobre simetria: do ponto de vista da Relatividade, se em
a barra está em repouso e em ela se move, então mede . De forma simétrica, se em um observador tem uma barra própria, um observador em que vê essa barra movendo-se mede a contração análoga.
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar a intuição)\n
- Suponha
. Então - Se
, o comprimento medido por um observador que vê a barra a será - Isso mostra claramente a ideia: movimento relativístico “encolhe” comprimentos na direção do movimento.