Uma pirâmide tem base um pentágono regular de lado a=4 \mathrm{~cm} e apótema do polígono r=2.754 \mathrm{~cm} (valor aproximado). A altura da pirâmide é h=10 \mathrm{~cm}. Calcule o volume.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma pirâmide cuja base é um pentágono regular. Informações dadas:
  • lado do pentágono: a=4\\ \mathrm{cm},
  • apótema do polígono (apotema do pentágono): r=2,754\\ \mathrm{cm} (valor aproximado — foi dado pelo enunciado),
  • altura da pirâmide: h=10\\ \mathrm{cm}.
Pergunta clara: calcular o volume da pirâmide usando esses dados.

Passo 2

Fórmula do volume de uma pirâmide: o volume V é um terço do produto da área da base A_{\text{base}} pela altura h. Vou explicar e usar essa fórmula:
V=\frac{1}{3}A_{\text{base}}\,h.
Aqui:
  • V é o volume que queremos (unidade: \mathrm{cm}^3),
  • A_{\text{base}} é a área do pentágono regular da base (unidade: \mathrm{cm}^2),
  • h é a altura da pirâmide (unidade: \mathrm{cm}).
Explicando por que: uma pirâmide é como um “terço” de um prisma com a mesma base e mesma altura — por isso aparece o fator \tfrac{1}{3}.

Passo 3

Agora preciso calcular A_{\text{base}}, a área do pentágono regular. Há uma fórmula prática usando o perímetro P do polígono e o apótema r:
A_{\text{base}}=\frac{1}{2}P\,r.
O apótema r é a distância do centro do polígono até o ponto médio de um lado (é perpendicular ao lado). A justificativa rápida: um polígono regular pode ser dividido em n triângulos isósceles congruentes (um por lado); a área de cada triângulo é \tfrac{1}{2}\cdot(\text{base do triângulo})\cdot(\text{altura do triângulo})=\tfrac{1}{2}a\cdot rââ. Somando n triângulos dá A_{\text{base}}=n\cdot\frac{1}{2}a\,r=\frac{1}{2}P\,r, onde P=n\,a.

Passo 4

Calcular o perímetro do pentágono ( n=5 lados):
P = n\cdot a = 5\cdot 4 = 20\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Calcular a área da base usando P e r:
A_{\text{base}}=\frac{1}{2}P\,r=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 2,754.
Fazendo a conta:
\frac{1}{2}\cdot 20 = 10,\quad 10\cdot 2,754 = 27,54.
Portanto
A_{\text{base}}=27,54\\ \mathrm{cm}^2.
Observação: este valor é aproximado porque r foi dado como aproximado.

Passo 6

Agora calculamos o volume com a fórmula do Passo 2:
V=\frac{1}{3}A_{\text{base}}\,h=\frac{1}{3}\cdot 27,54\cdot 10.
Primeiro multiplicamos A_{\text{base}} por h:
27,54\cdot 10 = 275,4.
Agora dividimos por 3:
V=\frac{275,4}{3}=91,8\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 7

Verificação rápida de consistência:
  • unidades: A_{\text{base}} em \mathrm{cm}^2 vezes h em \mathrm{cm} \mathrm{cm}^3, correto.
  • valor é aproximado por causa do r aproximado; cálculo foi feito passo a passo sem pular etapas.

Resposta

91,8\\ \mathrm{cm}^3

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