Quinta Questão ( \mathbf{2 , 0} pts): Um campo vetorial \vec{F} está definido no domínio D \subset \mathbb{R}^{2}. Assinale verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
(a) Se \operatorname{rot} \vec{F} \equiv \overrightarrow{0} em D, então \vec{F} é necessariamente conservativo em D.
(b) Se C é uma curva contida em D com parametrização \vec{r}(t), a \leq t \leq b, então a integral de linha de \vec{F} ao longo de C é dada por \int_{a}^{b} \vec{F}(\vec{r}(t))\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\| d t.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações sobre um campo vetorial \vec{F} definido num domínio D\subset\mathbb{R}^2 e pede que eu assinale verdadeiro ou falso e justifique. As duas afirmações são:
(a) Se \operatorname{rot}\vec{F}\equiv\overrightarrow{0} em D, então \vec{F} é necessariamente conservativo em D.
(b) Se C é uma curva contida em D com parametrização \vec{r}(t),\; a\le t\le b, então a integral de linha de \vec{F} ao longo de C é dada por
\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\left\|\vec{r}'(t)\right\|\,dt.
Vou decidir verdadeiro/falso para cada item e justificar passo a passo, mostrando a teoria necessária e exemplos contraexemplo quando necessário.

Passo 2

Conceitos importantes (aula rápida e prática).
  • Definição de conservativo: Um campo vetorial \vec{F}=(P,Q) é conservativo em D se existe uma função escalar \varphi (potencial) tal que \nabla\varphi=\vec{F}, ou seja \phi_x=P e \phi_y=Q em D. Consequências práticas:
    • A integral de linha de \vec{F} entre dois pontos independe do caminho (é só \varphi(\text{final})-\varphi(\text{inicial})).
    • A integral de linha de \vec{F} sobre qualquer curva fechada em D é zero.
  • Rotacional em \mathbb{R}^2: Para \vec{F}=(P,Q),
\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Se \operatorname{rot}\vec{F}\equiv 0 e P,Q são contínuos num domínio adequado, isso é uma condição necessária para existência de potencial, mas não suficiente em todo domínio: é necessária a hipótese extra de que D seja simplesmente conectado (sem “buracos”).
  • Importante: “simplesmente conectado” significa, intuitivamente, que qualquer curva fechada em D pode ser continuamente deformada a um ponto sem sair de D — por exemplo \mathbb{R}^2 é simplesmente conectado, mas \mathbb{R}^2\setminus\{0\} não é (tem um buraco no centro).
Explicação curta: Em domínios simplesmente conectados, se P,Q são contínuos e \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y em todo o domínio, então \vec{F} é conservativo. Sem a hipótese de simples conexão essa implicação pode falhar.

Passo 3

Contraexemplo para (a) — intenção: mostrar que a afirmação é falsa se não se exige que D seja simplesmente conectado.
Considere o domínio \displaystyle D=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} (o plano sem a origem) e o campo
\vec{F}(x,y)=\left(-\frac{y}{x^2+y^2},\;\frac{x}{x^2+y^2}\right).
Vou mostrar duas coisas: (i) \operatorname{rot}\vec{F}=0 em D; (ii) \vec{F} não é conservativo em D.
Cálculo do rotacional. Escrevendo P(x,y)=-\dfrac{y}{x^2+y^2} e Q(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}, calculemos as derivadas parciais (válidas para (x,y)\neq(0,0)).
Primeiro
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right) = \frac{(x^2+y^2)-2x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}.
Depois
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right) = \frac{-\,(x^2+y^2)+2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}.
Assim
\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0
para todo (x,y)\in D. Logo a hipótese \operatorname{rot}\vec{F}\equiv\overrightarrow{0} vale em D.

Passo 4

Mostrando que o campo do passo anterior não é conservativo (logo (a) é falso).
Uma maneira prática de provar que \vec{F} não é conservativo é calcular a integral de linha sobre uma curva fechada e mostrar que é diferente de zero. Tome a curva C = circunferência unitária parametrizada por
\vec{r}(t)=(\cos t,\sin t),\qquad 0\le t\le 2\pi.
A derivada é \vec{r}'(t)=(-\sin t,\cos t). Avaliando \vec{F} na curva (como x^2+y^2=1 nessa curva),
\vec{F}(\vec{r}(t))=\big(-\sin t,\cos t\big).
O integrando da integral de linha (a forma correta, produto escalar) é
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)=(-\sin t,\cos t)\cdot(-\sin t,\cos t)=\sin^2 t+\cos^2 t=1.
Portanto a integral sobre C é
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi\neq 0.
Como existe uma curva fechada em D cujo integral não é zero, \vec{F} não é conservativo em D. Conclusão: ter rotacional nulo não garante conservatividade se o domínio não for simplesmente conectado. Logo a afirmação (a) é falsa.

Passo 5

Resumo da justificativa para (a) (resumo didático curto):
  • Condição necessária: \operatorname{rot}\vec{F}=0 é necessária para conservatividade (sob regularidade).
  • Condição suficiente: \operatorname{rot}\vec{F}=0 é suficiente apenas se o domínio D for simplesmente conectado (e P,Q contínuos). Como o enunciado não exige simples conexão de D, a afirmação geral é falsa — o contraexemplo acima demonstra isso.

Passo 6

Agora a parte (b): vamos entender o que é a integral de linha de um campo vetorial e quais fórmulas estão corretas.
  • Integral de linha (tipo trabalho): se \vec{F} é um campo vetorial e C é parametrizada por \vec{r}(t),\;a\le t\le b, a integral de linha (trabalho) de \vec{F} ao longo de C é definida por
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}'(t)\,dt.
Aqui o integrando é um produto escalar (número) e o resultado da integral é um número real — faz sentido físico (trabalho).
  • Outra integral de linha (tipo massa/comprimento ponderado): se f é uma função escalar (densidade, por exemplo), a integral ao longo de C relativa ao comprimento é
\int_C f\,ds=\int_a^b f(\vec{r}(t))\left\|\vec{r}'(t)\right\|\,dt.
Note a diferença: neste caso o integrando é escalar f multiplicado pelo elemento de comprimento \left\|\vec{r}'(t)\right\|\,dt.
A expressão apresentada no enunciado de (b),
\int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t))\left\|\vec{r}'(t)\right\|\,dt,
mistura os dois conceitos: coloca o vetor \vec{F}(\vec{r}(t)) multiplicado por um escalar \|\vec{r}'(t)\|. Isso não é a fórmula do trabalho (que exige produto escalar com \vec{r}'(t)), e não é a fórmula da integral de comprimento (que exige função escalar, não vetor). Portanto a fórmula dada está errada para a integral de linha de um campo vetorial.

Passo 7

Contraexemplo simples para (b) — cálculo explícito que mostra que a fórmula proposta dá resultado diferente do correto.
Escolha o campo constante
\vec{F}(x,y)=(0,1)
e a curva C parametrizada por \vec{r}(t)=(t,0), com 0\le t\le 1 (segmento do eixo x de 0 a 1). Então \vec{r}'(t)=(1,0) e \|\vec{r}'(t)\|=1.
  • Integral correta do tipo trabalho:
\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_0^1 \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)\,dt =\int_0^1 (0,1)\cdot(1,0)\,dt=\int_0^1 0\,dt=0.
  • Valor da expressão proposta no enunciado:
\int_0^1 \vec{F}(\vec{r}(t))\left\|\vec{r}'(t)\right\|\,dt =\int_0^1 (0,1)\cdot 1\,dt=\int_0^1 (0,1)\,dt=(0,1),
ou seja, um vetor não nulo (se interpretada como integral vetorial). Os dois resultados não coincidem (o correto é um escalar 0). Portanto a fórmula dada em (b) está errada.

Passo 8

Explicação final e didática curta para (b):
  • A integral de linha de vetor (trabalho) precisa do produto escalar \vec{F}\cdot\vec{r}'(t).
  • A expressão com \|\vec{r}'(t)\| é a fórmula da integral de uma função escalar ao longo da curva (usando ds), não a integral de um campo vetorial.
    Logo a afirmação (b) é falsa.

Resposta

(a) Falso
(b) Falso

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