Quinta Questão ( \mathbf{2 , 0} pts): Um campo vetorial \vec{F} está definido no domínio D \subset \mathbb{R}^{2}. Assinale verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
(a) Se \operatorname{rot} \vec{F} \equiv \overrightarrow{0} em D, então \vec{F} é necessariamente conservativo em D.
(b) Se C é uma curva contida em D com parametrização \vec{r}(t), a \leq t \leq b, então a integral de linha de \vec{F} ao longo de C é dada por \int_{a}^{b} \vec{F}(\vec{r}(t))\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\| d t.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações sobre um campo vetorial \vec{F} definido num domínio D\subset\mathbb{R}^2 e pede que eu assinale verdadeiro ou falso e justifique. As duas afirmações são:
(a) Se \operatorname{rot}\vec{F}\equiv\overrightarrow{0} em D, então \vec{F} é necessariamente conservativo em D.
(b) Se C é uma curva contida em D com parametrização \vec{r}(t),\; a\le t\le b, então a integral de linha de \vec{F} ao longo de C é dada por
Vou decidir verdadeiro/falso para cada item e justificar passo a passo, mostrando a teoria necessária e exemplos contraexemplo quando necessário.
Passo 2
Conceitos importantes (aula rápida e prática).
Definição de conservativo: Um campo vetorial \vec{F}=(P,Q) é conservativo em D se existe uma função escalar \varphi (potencial) tal que \nabla\varphi=\vec{F}, ou seja \phi_x=P e \phi_y=Q em D. Consequências práticas:
A integral de linha de \vec{F} entre dois pontos independe do caminho (é só \varphi(\text{final})-\varphi(\text{inicial})).
A integral de linha de \vec{F} sobre qualquer curva fechada em D é zero.
Se \operatorname{rot}\vec{F}\equiv 0 e P,Q são contínuos num domínio adequado, isso é uma condição necessária para existência de potencial, mas não suficiente em todo domínio: é necessária a hipótese extra de que D seja simplesmente conectado (sem “buracos”).
Importante: “simplesmente conectado” significa, intuitivamente, que qualquer curva fechada em D pode ser continuamente deformada a um ponto sem sair de D — por exemplo \mathbb{R}^2 é simplesmente conectado, mas \mathbb{R}^2\setminus\{0\} não é (tem um buraco no centro).
Explicação curta: Em domínios simplesmente conectados, se P,Q são contínuos e \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y em todo o domínio, então \vec{F} é conservativo. Sem a hipótese de simples conexão essa implicação pode falhar.
Passo 3
Contraexemplo para (a) — intenção: mostrar que a afirmação é falsa se não se exige que D seja simplesmente conectado.
Considere o domínio \displaystyle D=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} (o plano sem a origem) e o campo
Vou mostrar duas coisas: (i) \operatorname{rot}\vec{F}=0 em D; (ii) \vec{F} não é conservativo em D.
Cálculo do rotacional. Escrevendo P(x,y)=-\dfrac{y}{x^2+y^2} e Q(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}, calculemos as derivadas parciais (válidas para (x,y)\neq(0,0)).
para todo (x,y)\in D. Logo a hipótese \operatorname{rot}\vec{F}\equiv\overrightarrow{0} vale em D.
Passo 4
Mostrando que o campo do passo anterior não é conservativo (logo (a) é falso).
Uma maneira prática de provar que \vec{F} não é conservativo é calcular a integral de linha sobre uma curva fechada e mostrar que é diferente de zero. Tome a curva C = circunferência unitária parametrizada por
\vec{r}(t)=(\cos t,\sin t),\qquad 0\le t\le 2\pi.
A derivada é \vec{r}'(t)=(-\sin t,\cos t). Avaliando \vec{F} na curva (como x^2+y^2=1 nessa curva),
\vec{F}(\vec{r}(t))=\big(-\sin t,\cos t\big).
O integrando da integral de linha (a forma correta, produto escalar) é
Como existe uma curva fechada em D cujo integral não é zero, \vec{F} não é conservativo em D. Conclusão: ter rotacional nulo não garante conservatividade se o domínio não for simplesmente conectado. Logo a afirmação (a) é falsa.
Passo 5
Resumo da justificativa para (a) (resumo didático curto):
Condição necessária: \operatorname{rot}\vec{F}=0 é necessária para conservatividade (sob regularidade).
Condição suficiente: \operatorname{rot}\vec{F}=0 é suficiente apenas se o domínio D for simplesmente conectado (e P,Q contínuos). Como o enunciado não exige simples conexão de D, a afirmação geral é falsa — o contraexemplo acima demonstra isso.
Passo 6
Agora a parte (b): vamos entender o que é a integral de linha de um campo vetorial e quais fórmulas estão corretas.
Integral de linha (tipo trabalho): se \vec{F} é um campo vetorial e C é parametrizada por \vec{r}(t),\;a\le t\le b, a integral de linha (trabalho) de \vec{F} ao longo de C é definida por
Aqui o integrando é um produto escalar (número) e o resultado da integral é um número real — faz sentido físico (trabalho).
Outra integral de linha (tipo massa/comprimento ponderado): se f é uma função escalar (densidade, por exemplo), a integral ao longo de C relativa ao comprimento é
mistura os dois conceitos: coloca o vetor \vec{F}(\vec{r}(t)) multiplicado por um escalar \|\vec{r}'(t)\|. Isso não é a fórmula do trabalho (que exige produto escalar com \vec{r}'(t)), e não é a fórmula da integral de comprimento (que exige função escalar, não vetor). Portanto a fórmula dada está errada para a integral de linha de um campo vetorial.
Passo 7
Contraexemplo simples para (b) — cálculo explícito que mostra que a fórmula proposta dá resultado diferente do correto.
Escolha o campo constante
\vec{F}(x,y)=(0,1)
e a curva C parametrizada por \vec{r}(t)=(t,0), com 0\le t\le 1 (segmento do eixo x de 0 a 1). Então \vec{r}'(t)=(1,0) e \|\vec{r}'(t)\|=1.
ou seja, um vetor não nulo (se interpretada como integral vetorial). Os dois resultados não coincidem (o correto é um escalar 0). Portanto a fórmula dada em (b) está errada.
Passo 8
Explicação final e didática curta para (b):
A integral de linha de vetor (trabalho) precisa do produto escalar \vec{F}\cdot\vec{r}'(t).
A expressão com \|\vec{r}'(t)\| é a fórmula da integral de uma função escalar ao longo da curva (usando ds), não a integral de um campo vetorial.
Logo a afirmação (b) é falsa.