1. Considere uma pirâmide regular de base hexagonal cuja base tem aresta medindo 4 cm e a altura é igual a 6 cm . Um plano paralelo à base secciona a pirâmide de modo que a altura do tronco é metade da altura da pirâmide. Qual é a área do tronco?

Passo 1

O enunciado fala de uma pirâmide regular de base hexagonal com aresta da base 4\text{ cm} e altura H=6\text{ cm}. Um plano paralelo à base corta a pirâmide de modo que o tronco resultante tem altura H/2=3\text{ cm}. O conteúdo aqui é semelhança de pirâmides, área de polígono regular e área lateral de um tronco de pirâmide.

Passo 2

Pela semelhança, o vértice até o plano de corte mede H - 3 = 3\text{ cm}, ou seja, a pirâmide menor é a metade linear da original. Logo o fator de escala linear é
k = \frac{3}{6} = \tfrac12.

Passo 3

A aresta da base grande é s=4\text{ cm} e da base pequena é s_{\rm topo}=k\,s=2\text{ cm}. Os perímetros são
P_{\rm base}=6\cdot 4=24\text{ cm}, \quad P_{\rm topo}=6\cdot 2=12\text{ cm}.

Passo 4

Para achar a altura lateral total da pirâmide use o apótema do hexágono:
a = \frac{s\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{ cm},
\ell = \sqrt{H^2 + a^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 +12} = \sqrt{48} =4\sqrt{3}\text{ cm}.
Pela semelhança, a pirâmide menor tem apótema lateral \ell_{\rm topo}=k\,\ell=2\sqrt{3}\text{ cm}. Assim a altura lateral do tronco é
\ell_{\rm tronco} = \ell - \ell_{\rm topo} = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}.

Passo 5

A área lateral do tronco de pirâmide é dada por
A_{\rm lat} = \frac{P_{\rm base} + P_{\rm topo}}{2}\;\ell_{\rm tronco} = \frac{24 + 12}{2}\;\bigl(2\sqrt{3}\bigr) =18\cdot 2\sqrt{3} =36\sqrt{3}\text{ cm}^2.

Resposta

A área lateral do tronco é 36\sqrt{3}\text{ cm}^2.

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