1. Sabendo que a área total de um tetraedro regular é 18 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}, determine o seu volume.

Passo 1

O enunciado dá a área total de um tetraedro regular e pede o seu volume. Num tetraedro regular, cada face é um triângulo equilátero de lado a e a área total A_t é 4 vezes a área de uma face. Vamos usar a fórmula da área de triângulo equilátero e a fórmula do volume de tetraedro regular.

Passo 2

A área de uma face é
A_{\text{face}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2.
Como há 4 faces,
A_t = 4 A_{\text{face}} = \sqrt{3}\,a^2.
Dado A_t = 18\sqrt{3}, temos
\sqrt{3}\,a^2 = 18\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 18 \quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

Passo 3

A fórmula do volume de um tetraedro regular é
V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}.
Substituindo a = 3\sqrt{2},
a^3 = (3\sqrt{2})^3 = 27 \,\cdot 2\sqrt{2} = 54\sqrt{2},
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V = \frac{54\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 9.

Resposta

O volume do tetraedro é 9\mathrm{~cm}^3.

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