A partir do balanço de energia em um elemento de volume de uma casca cilíndrica, derive a equação de condução de calor unidimensional permanente para um longo cilindro com condutividade térmica constante no qual o calor é gerado a uma taxa dote >=t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para derivar a equação de condução de calor unidimensional em regime permanente para um cilindro longo, onde o calor é gerado internamente a uma taxa dote>=t. A matéria envolvida aqui é a transferência de calor, especificamente a condução térmica em geometria cilíndrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o balanço de energia e aplicar a Lei de Fourier para condução de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um elemento de volume em forma de casca cilíndrica do cilindro longo. Imagine uma pequena fatia dessa casca com raio r, espessura De, e comprimento L. Nosso objetivo é balancear o calor que entra e sai desse elemento para chegar à equação desejada.

Passo 3

A Lei de Fourier para a condução de calor diz que o fluxo de calor q é proporcional ao gradiente de temperatura. Em termos matemáticos:
q = -k dTdr
onde k é a condutividade térmica do material e dTdr é o gradiente de temperatura radial.

Passo 4

Vamos calcular o calor que entra e sai do elemento. O fluxo de calor que entra pela superfície interna ( r) é:
qin = -k Ain dTdrg|r
E o fluxo que sai pela superfície externa ( r + De) é:
qout = -k Aout dTdrg|r + De
onde Ain = 2pi r L e Aout = 2pi (r + De são as áreas das superfícies interna e externa da casca.

Passo 5

O balanço de energia estabelece que o calor que entra menos o que sai é igual ao calor gerado internamente no volume do elemento. Matemáticamente:
qin - qout = dote>=t cdot V
onde V = 2pi r L De é o volume da casca.

Passo 6

Substituindo os valores de qin e qout na equação do balanço energético:
- k (2pi r L) dTdrg|r + k (2pi (r + De=t cdot 2pi r L De

Passo 7

Dividimos toda a equação por 2pi L De para simplificar:
- k r dTdrg|r + k (r + De=t r

Passo 8

Agora, vamos tomar o limite quando De, o que transforma as diferenças finitas em derivadas:
ddr( r dTdr ) = dote>=t rk

Passo 9

Simplificando a equação, obtemos a equação de condução de calor unidimensional em regime permanente para um cilindro longo com geração interna de calor:
1r ddr( r dTdr ) = dote>=tk

Resposta

A equação de condução de calor unidimensional permanente para um longo cilindro com condutividade térmica constante e geração de calor interna é:
1r ddr( r dTdr ) = dote>=tk

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