A partir do balanço de energia em um elemento de volume de uma casca cilíndrica, derive a equação de condução de calor unidimensional permanente para um longo cilindro com condutividade térmica constante no qual o calor é gerado a uma taxa
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para derivar a equação de condução de calor unidimensional em regime permanente para um cilindro longo, onde o calor é gerado internamente a uma taxa . A matéria envolvida aqui é a transferência de calor, especificamente a condução térmica em geometria cilíndrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o balanço de energia e aplicar a Lei de Fourier para condução de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um elemento de volume em forma de casca cilíndrica do cilindro longo. Imagine uma pequena fatia dessa casca com raio , espessura , e comprimento . Nosso objetivo é balancear o calor que entra e sai desse elemento para chegar à equação desejada.
Passo 3
A Lei de Fourier para a condução de calor diz que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura. Em termos matemáticos:
onde é a condutividade térmica do material e é o gradiente de temperatura radial.
Passo 4
Vamos calcular o calor que entra e sai do elemento. O fluxo de calor que entra pela superfície interna () é:
E o fluxo que sai pela superfície externa (r + De) é:
qout = -k Aout dTdrg|r + De
onde Ain = 2pi r L e Aout = 2pi (r + De são as áreas das superfícies interna e externa da casca.
Passo 5
O balanço de energia estabelece que o calor que entra menos o que sai é igual ao calor gerado internamente no volume do elemento. Matemáticamente:
qin - qout = dote>=t cdot V
onde V = 2pi r L De é o volume da casca.
Passo 6
Substituindo os valores de qin e qout na equação do balanço energético:
Agora, vamos tomar o limite quando De, o que transforma as diferenças finitas em derivadas:
ddr( r dTdr ) = dote>=t rk
Passo 9
Simplificando a equação, obtemos a equação de condução de calor unidimensional em regime permanente para um cilindro longo com geração interna de calor:
1r ddr( r dTdr ) = dote>=tk
Resposta
A equação de condução de calor unidimensional permanente para um longo cilindro com condutividade térmica constante e geração de calor interna é: