1. Considere uma placa fina e homogênea no plano \mathrm{X}_{1} \mathrm{X}_{2}. Mostre que o tensor de inércia tem a seguinte forma:
\{\mathbf{I}\}=\left\{\begin{array}{rrc} A & -C & 0 \\ -C & B & 0 \\ 0 & 0 & A+B \end{array}\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá uma placa fina e homogênea que está no plano X_{1}X_{2}. Ou seja, toda a massa da placa está concentrada na superfície X_{3}=0. A tarefa é mostrar que o tensor de inércia, escrito na base canônica (X_{1},X_{2},X_{3}), tem a forma
\{\mathbf{I}\}=\left\{\begin{array}{rrc} A & -C & 0 \\\\ -C & B & 0 \\\\ 0 & 0 & A+B \end{array}\right\}.
Informações relevantes dadas:
  • A placa é fina e homogênea, e está no plano X_{3}=0.
  • O enunciado indica os escalares A, B, C (a provar que surgem naturalmente como certas integrais de massa).
    O que se pede: deduzir, a partir da definição do tensor de inércia, que os elementos do tensor tomam os valores indicados.

Passo 2

Definição do tensor de inércia para um corpo contínuo (lembrete e interpretação).
  • Para um corpo com densidade de massa \rho (ou com elemento de massa \mathrm{d}m), as componentes do tensor de inércia são dadas por
I_{ij}=\int \bigl(r^{2}\delta_{ij}-x_{i}x_{j}\bigr)\,\mathrm{d}m,
onde:
  • r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} é o quadrado da distância ao eixo de referência (origem),
  • \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, e 0 caso contrário),
  • x_{i} é a coordenada i-ésima do ponto massivo (por exemplo x_{1} é a coordenada na direção X_{1}),
  • a integral é feita sobre toda a massa do corpo.
    Interpretação rápida:
  • Quando i=j esta fórmula dá os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados;
  • Quando i\neq j ela dá os produtos de inércia, que medem o acoplamento entre eixos diferentes.

Passo 3

Aplicar a hipótese da placa fina no plano X_{3}=0. Isso implica que, para todo elemento de massa da placa, tem-se x_{3}=0. Assim r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2} em todos os pontos da placa. Também pode-se escrever \mathrm{d}m=\rho_{s}\,\mathrm{d}S com \rho_{s} densidade superficial (constante, por homogeneidade), mas não precisamos explicitá-la para ver a forma do tensor — basta trabalhar com integrais em \mathrm{d}m.
Definimos agora os escalares A, B, C pelas integrais naturais que surgem:
A\;\doteq\;\int x_{2}^{2}\,\mathrm{d}m,\qquad B\;\doteq\;\int x_{1}^{2}\,\mathrm{d}m,\qquad C\;\doteq\;\int x_{1}x_{2}\,\mathrm{d}m.
Observação: por ser uma placa no plano X_{3}=0, estas integrais são sobre a área da placa (com \mathrm{d}m=\rho_{s}\mathrm{d}S). Os símbolos A,B,C são apenas nomes para estas integrais.

Passo 4

Calcular os elementos diagonais do tensor usando a definição.
  • Para I_{11} (momento de inércia em torno do eixo X_{1}):
I_{11}=\int\bigl(r^{2}-x_{1}^{2}\bigr)\,\mathrm{d}m =\int\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\bigr)\,\mathrm{d}m =\int x_{2}^{2}\,\mathrm{d}m=A.
  • Para I_{22} (momento em torno do eixo X_{2}):
I_{22}=\int\bigl(r^{2}-x_{2}^{2}\bigr)\,\mathrm{d}m =\int x_{1}^{2}\,\mathrm{d}m=B.
  • Para I_{33} (momento em torno do eixo X_{3}, perpendicular ao plano):
I_{33}=\int\bigl(r^{2}-x_{3}^{2}\bigr)\,\mathrm{d}m =\int\bigl(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr)\,\mathrm{d}m =\int x_{1}^{2}\,\mathrm{d}m+\int x_{2}^{2}\,\mathrm{d}m=B+A=A+B.

Passo 5

Calcular as componentes fora da diagonal (produtos de inércia).
  • Para I_{12} (ou I_{21}, lembrando que o tensor é simétrico):
I_{12}=-\int x_{1}x_{2}\,\mathrm{d}m=-C.
A simetria I_{12}=I_{21} vem do fato de que a definição leva à mesma integral (com sinal) para ambos.
  • Para as componentes envolvendo X_{3}:
I_{13}=-\int x_{1}x_{3}\,\mathrm{d}m=-\int x_{1}\cdot 0\,\mathrm{d}m=0,
I_{23}=-\int x_{2}x_{3}\,\mathrm{d}m=-\int x_{2}\cdot 0\,\mathrm{d}m=0.
Portanto todas as componentes na terceira coluna e terceira linha, exceto a diagonal I_{33}, são nulas.

Passo 6

Juntando todos os resultados anteriores obtemos a matriz do tensor de inércia, na base canônica (X_{1},X_{2},X_{3}):
  • componentes diagonais: I_{11}=A, I_{22}=B, I_{33}=A+B;
  • componentes fora da diagonal: I_{12}=I_{21}=-C, I_{13}=I_{31}=0, I_{23}=I_{32}=0.
    Isso coincide exatamente com a forma pedida.

Resposta

\mathbf{I}=\begin{pmatrix} A & -C & 0\\[4pt] -C & B & 0\\[4pt] 0 & 0 & A+B \end{pmatrix}]

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