Considere uma placa fina e homogênea no plano \mathrm{X}_{1} \mathrm{X}_{2}. Mostre que o tensor de inércia tem a seguinte forma:
\{\mathbf{I}\}=\left\{\begin{array}{rrc}
A & -C & 0 \\
-C & B & 0 \\
0 & 0 & A+B
\end{array}\right\}
Passo 1
O enunciado nos dá uma placa fina e homogênea que está no plano X_{1}X_{2}. Ou seja, toda a massa da placa está concentrada na superfície X_{3}=0. A tarefa é mostrar que o tensor de inércia, escrito na base canônica (X_{1},X_{2},X_{3}), tem a forma
\{\mathbf{I}\}=\left\{\begin{array}{rrc} A & -C & 0 \\\\ -C & B & 0 \\\\ 0 & 0 & A+B \end{array}\right\}.
Informações relevantes dadas:
A placa é fina e homogênea, e está no plano X_{3}=0.
O enunciado indica os escalares A, B, C (a provar que surgem naturalmente como certas integrais de massa).
O que se pede: deduzir, a partir da definição do tensor de inércia, que os elementos do tensor tomam os valores indicados.
Passo 2
Definição do tensor de inércia para um corpo contínuo (lembrete e interpretação).
Para um corpo com densidade de massa \rho (ou com elemento de massa \mathrm{d}m), as componentes do tensor de inércia são dadas por
r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} é o quadrado da distância ao eixo de referência (origem),
\delta_{ij} é o delta de Kronecker (\delta_{ij}=1 se i=j, e 0 caso contrário),
x_{i} é a coordenada i-ésima do ponto massivo (por exemplo x_{1} é a coordenada na direção X_{1}),
a integral é feita sobre toda a massa do corpo.
Interpretação rápida:
Quando i=j esta fórmula dá os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados;
Quando i\neq j ela dá os produtos de inércia, que medem o acoplamento entre eixos diferentes.
Passo 3
Aplicar a hipótese da placa fina no plano X_{3}=0. Isso implica que, para todo elemento de massa da placa, tem-se x_{3}=0. Assim r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2} em todos os pontos da placa. Também pode-se escrever \mathrm{d}m=\rho_{s}\,\mathrm{d}S com \rho_{s} densidade superficial (constante, por homogeneidade), mas não precisamos explicitá-la para ver a forma do tensor — basta trabalhar com integrais em \mathrm{d}m.
Definimos agora os escalares A, B, C pelas integrais naturais que surgem:
Observação: por ser uma placa no plano X_{3}=0, estas integrais são sobre a área da placa (com \mathrm{d}m=\rho_{s}\mathrm{d}S). Os símbolos A,B,C são apenas nomes para estas integrais.
Passo 4
Calcular os elementos diagonais do tensor usando a definição.
Para I_{11} (momento de inércia em torno do eixo X_{1}):