Um elemento de aquecimento de 2,0 \mathrm{~kW} de uma secadora de roupas tem 80 cm de comprimento. Se 10 cm do elemento forem removidos, qual será a potência dissipada pelo novo elemento para uma diferença de potencial de 120 V ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Potência original do elemento: P_1 = 2{,}0\\ \mathrm{kW} = 2000\\ \mathrm{W}.
  • Comprimento original do elemento: L_1 = 80\\ \mathrm{cm}.
  • Foi removido 10\\ \mathrm{cm}, portanto o novo comprimento é L_2 = 80\\ \mathrm{cm} - 10\\ \mathrm{cm} = 70\\ \mathrm{cm}.
  • Diferença de potencial (tensão) aplicada: V = 120\\ \mathrm{V}.
O que o problema pede:
  • Calcular a potência dissipada pelo novo elemento, P_2, quando ligado à mesma tensão V = 120\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Modelagem física e fórmulas relevantes (explicação didática):
  • Um elemento de aquecimento é, basicamente, um resistor. A potência dissipada por um resistor submetido a uma tensão V é dada por
P=\frac{V^{2}}{R},
onde P é a potência (em watts), V a tensão (em volts) e R a resistência (em ohms).
  • A resistência de um fio homogêneo é proporcional ao seu comprimento. A relação é
R=\rho\,\frac{L}{A},
onde \rho é a resistividade do material (constante do material), L é o comprimento do fio e A é a sua área da secção transversal. Aqui não é necessário conhecer \rho ou A, basta saber que, para o mesmo material e mesma seção, R varia linearmente com L.

Passo 3

Relação entre as resistências antes e depois da remoção:
  • Como R é proporcional a L, vale
\frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{L_{2}}{L_{1}}.
Logo podemos escrever
R_{2}=R_{1}\,\frac{L_{2}}{L_{1}}.

Passo 4

Relação entre as potências P_1 e P_2 usando P=V^{2}/R:
  • Partindo de P_{1}=\dfrac{V^{2}}{R_{1}} e P_{2}=\dfrac{V^{2}}{R_{2}} e substituindo R_{2}=R_{1}\dfrac{L_{2}}{L_{1}}, obtemos
P_{2}=\frac{V^{2}}{R_{2}}=\frac{V^{2}}{R_{1}\,\dfrac{L_{2}}{L_{1}}}=\left(\frac{V^{2}}{R_{1}}\right)\frac{L_{1}}{L_{2}}.
  • Como \dfrac{V^{2}}{R_{1}}=P_{1}, isto simplifica para a relação direta
P_{2}=P_{1}\,\frac{L_{1}}{L_{2}}.
Interpretando em palavras: reduzindo o comprimento do fio a resistência cai, então, para a mesma tensão, a potência aumenta; o fator de aumento é L_{1}/L_{2}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
  • L_{1}=80\\ \mathrm{cm} e L_{2}=70\\ \mathrm{cm}, logo
\frac{L_{1}}{L_{2}}=\frac{80}{70}=\frac{8}{7}\approx1{,}142857\ldots
  • Calculando P_{2}:
P_{2}=2000\\ \mathrm{W}\times\frac{8}{7}=\frac{16000}{7}\\ \mathrm{W}\approx2285{,}714\\ \mathrm{W}.
  • Arredondando de forma razoável (dados originais com duas casas significativas), podemos expressar:
P_{2}\approx2286\\ \mathrm{W}=2{,}29\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Comentário final e intuição:
  • Resumindo a intuição: cortar o elemento torna-o mais curto → resistência menor → para a mesma tensão a corrente aumenta → a potência P=V^{2}/R aumenta. Aqui o aumento foi de cerca de 14{,}3\% (fator 8/7).

Resposta

P_{2}\approx2286\\ \mathrm{W}=2{,}29\\ \mathrm{kW}

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