Considere um elétron estacionário como uma carga pontual e determine a densidade de energia u do campo elétrico criado pela partícula a 1,00 \mathrm{~mm} de distância

Passo 1

O enunciado pede: determinar a densidade de energia do campo elétrico, u, criado por um elétron considerado carga pontual, no ponto que fica a 1{,}00\\ \mathrm{mm} de distância da carga.
Informações dadas e que usarei:
  • distância: r = 1{,}00\\ \mathrm{mm} = 1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m};
  • a partícula é um elétron, cuja carga (em módulo) é e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (valor definido pelo SI);
  • o elétron é tratado como carga pontual.
    O objetivo final é calcular u (energia por unidade de volume) no ponto a essa distância.

Passo 2

Fórmula básica para a densidade de energia elétrica:
u=\frac{1}{2}\,\varepsilon_0\,E^2.
Explicação didática:
  • u é a densidade de energia elétrica, isto é, energia armazenada no campo por unidade de volume, com unidades \mathrm{J/m^3}.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante que aparece nas leis do eletromagnetismo), com unidades \mathrm{F/m} (farad por metro).
  • E é o módulo do campo elétrico no ponto considerado, com unidades \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m}.
    A fórmula diz: a energia no campo elétrico por volume é proporcional ao quadrado da intensidade do campo. Isso vem da energia armazenada em um capacitor e da correspondência local entre campo e energia.

Passo 3

Campo elétrico de uma carga pontual (módulo):
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|q|}{r^2}.
Explicando:
  • q é a carga (no nosso caso |q|=e porque o sinal não importa para E^2);
  • r é a distância do ponto à carga;
  • \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante de Coulomb k (às vezes escrito k\approx8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}).
    Portanto precisamos calcular E em r=1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Substituir E em u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 e simplificar simbolicamente:
u=\frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\right)^{\!2} =\frac{1}{2}\varepsilon_0\frac{1}{16\pi^2\varepsilon_0^{2}}\frac{q^{2}}{r^{4}}.
Agora simplifico os fatores de \varepsilon_0:
u=\frac{q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_0\,r^{4}}.
Essa forma é útil porque deixa u diretamente em função de q,\\ \varepsilon_0 e r. Cada símbolo:
  • q: carga (C),
  • \varepsilon_0: permissividade do vácuo ( \mathrm{F/m}),
  • r: distância (m),
  • u: resultado em \mathrm{J/m^3}.

Passo 5

Agora substituo os números. Valores que vou usar:
q = e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
\varepsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
r = 1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Calculo intermediário de q^{2} e r^{4}:
q^{2}=(1{,}602176634\times10^{-19})^{2}=2{,}5669699\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}},
r^{4}=(1{,}00\times10^{-3})^{4}=1{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{m^{4}}.
Logo
\frac{q^{2}}{r^{4}}=\frac{2{,}5669699\times10^{-38}}{1{,}00\times10^{-12}}=2{,}5669699\times10^{-26}\\ \mathrm{C^{2}/m^{4}}.

Passo 6

Calculo do denominador 32\pi^{2}\varepsilon_0:
32\pi^{2}\varepsilon_0 \approx 32\times(9{,}869604401)\times(8{,}854187817\times10^{-12}) \approx 2{,}7963\times10^{-9}\\ \mathrm{F/m}.
Agora finalizo a divisão:
u=\frac{q^{2}}{32\pi^{2}\varepsilon_0\,r^{4}} =\frac{2{,}5669699\times10^{-26}}{2{,}7963\times10^{-9}}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Efetuando a divisão numérica obtém-se
u\approx 9{,}18\times10^{-18}\\ \mathrm{J/m^{3}}.

Passo 7

Interpretação rápida e intuição:
  • A unidade \mathrm{J/m^{3}} é energia por volume — aqui, a energia do campo numa pequena região ao redor do ponto a 1{,}00\\ \mathrm{mm} da carga.
  • O valor é muito pequeno porque a carga do elétron é extremamente pequena; mesmo estando relativamente perto ( 1\\ \mathrm{mm}), o campo produzido por um único elétron é fraco e, portanto, a densidade de energia no campo é muito baixa.
  • Esse cálculo é direto e aplicável em provas: lembrar da fórmula u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 e da expressão para E de uma carga pontual, substituir e simplificar.

Resposta

u = 9{,}18\times10^{-18}\\ \mathrm{J/m^{3}}

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