O enunciado nos dá um sistema de três partículas pontuais com massas e coordenadas (peguei estes dados do enunciado):
Massa M_{1}=3M localizada em (b,0,b).
Massa M_{2}=4M localizada em (b,b,-b).
Massa M_{3}=2M localizada em (-b,b,0).
O que é pedido: determinar o tensor de inércia total desse sistema de partículas (isto é, a matriz 3\times3 do tensor de inércia em relação à origem de coordenadas fornecida).
Passo 2
O que é o tensor de inércia e a fórmula que vamos usar.
Intuição rápida: o tensor de inércia \mathbf{I} generaliza o momento de inércia para corpos que não são apenas rotados em torno de um eixo; é uma matriz que relaciona o vetor velocidade angular com o momento angular. Para partículas pontuais somamos as contribuições individuais.
Fórmula geral para um conjunto de partículas (índices i,j em \{x,y,z\}):
Explicando as variáveis: x_k,y_k,z_k são as coordenadas da partícula k; I_{xx} é o elemento da linha x, coluna x da matriz, etc. Os elementos fora da diagonal aparecem com sinal negativo por causa do termo -x_{k,i}x_{k,j} na fórmula.]
Passo 3
Calcular r_k^2 (usando as coordenadas dadas) para cada partícula — isso ajuda a conferir consistência.
Para M_1=3M em (b,0,b):
r_1^{2}=b^{2}+0^{2}+b^{2}=2b^{2}.
Para M_2=4M em (b,b,-b):
r_2^{2}=b^{2}+b^{2}+(-b)^{2}=3b^{2}.
Para M_3=2M em (-b,b,0):
r_3^{2}=(-b)^{2}+b^{2}+0^{2}=2b^{2}.
Passo 4
Calcular I_{xx}=\sum m(y^{2}+z^{2}) somando as contribuições de cada partícula.
Para M_1=3M em (b,0,b): y^{2}+z^{2}=0^{2}+b^{2}=b^{2}. Contribuição: 3M\cdot b^{2}=3Mb^{2}.
Para M_2=4M em (b,b,-b): y^{2}+z^{2}=b^{2}+(-b)^{2}=2b^{2}. Contribuição: 4M\cdot 2b^{2}=8Mb^{2}.
Para M_3=2M em (-b,b,0): y^{2}+z^{2}=b^{2}+0^{2}=b^{2}. Contribuição: 2M\cdot b^{2}=2Mb^{2}.
Somando:
I_{xx}=3Mb^{2}+8Mb^{2}+2Mb^{2}=13Mb^{2}.
Passo 5
Calcular I_{yy}=\sum m(x^{2}+z^{2}).
M_1=3M em (b,0,b): x^{2}+z^{2}=b^{2}+b^{2}=2b^{2}. Contribuição: 3M\cdot 2b^{2}=6Mb^{2}.
M_2=4M em (b,b,-b): x^{2}+z^{2}=b^{2}+(-b)^{2}=2b^{2}. Contribuição: 4M\cdot 2b^{2}=8Mb^{2}.
M_3=2M em (-b,b,0): x^{2}+z^{2}=(-b)^{2}+0^{2}=b^{2}. Contribuição: 2M\cdot b^{2}=2Mb^{2}.
Somando:
I_{yy}=6Mb^{2}+8Mb^{2}+2Mb^{2}=16Mb^{2}.
Passo 6
Calcular I_{zz}=\sum m(x^{2}+y^{2}).
M_1=3M em (b,0,b): x^{2}+y^{2}=b^{2}+0^{2}=b^{2}. Contribuição: 3M\cdot b^{2}=3Mb^{2}.
M_2=4M em (b,b,-b): x^{2}+y^{2}=b^{2}+b^{2}=2b^{2}. Contribuição: 4M\cdot 2b^{2}=8Mb^{2}.
M_3=2M em (-b,b,0): x^{2}+y^{2}=(-b)^{2}+b^{2}=2b^{2}. Contribuição: 2M\cdot 2b^{2}=4Mb^{2}.
Somando:
I_{zz}=3Mb^{2}+8Mb^{2}+4Mb^{2}=15Mb^{2}.
Passo 7
Calcular os elementos fora da diagonal.
I_{xy} = -\sum m x y.
M_1: x y = b\cdot 0 =0 → contrib 0.
M_2: x y = b\cdot b = b^{2} → contrib -4M\cdot b^{2}=-4Mb^{2}.
M_3: x y = (-b)\cdot b = -b^{2} → contrib -2M\cdot(-b^{2})=+2Mb^{2}.
Somando:
I_{xy}=-4Mb^{2}+2Mb^{2}=-2Mb^{2}.
Pela simetria, I_{yx}=I_{xy}=-2Mb^{2}.
I_{xz} = -\sum m x z.
M_1: x z = b\cdot b = b^{2} → contrib -3M\cdot b^{2}=-3Mb^{2}.
M_2: x z = b\cdot(-b) = -b^{2} → contrib -4M\cdot(-b^{2})=+4Mb^{2}.
M_3: x z = (-b)\cdot 0 =0 → contrib 0.
Somando:
I_{xz}=-3Mb^{2}+4Mb^{2}=+Mb^{2}.
Então I_{zx}=I_{xz}=Mb^{2}.
I_{yz} = -\sum m y z.
M_1: y z = 0\cdot b =0 → 0.
M_2: y z = b\cdot(-b) = -b^{2} → contrib -4M\cdot(-b^{2})=+4Mb^{2}.
M_3: y z = b\cdot 0 =0 → 0.
Somando:
I_{yz}=4Mb^{2}.
E I_{zy}=I_{yz}=4Mb^{2}.
Passo 8
Montar o tensor de inércia (matriz simétrica) com os elementos calculados. Colocando tudo em forma matricial: