1- Um sistema de três partículas consiste de massas mi e coordenadas ( \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3} ) como segue:
\begin{aligned} & M_{1}=3 M,(b, 0, b) \\\ & M_{2}=4 M,(b, b,-b) \\\ & M_{3}=2 M,(-b, b, 0) \end{aligned}
Determine o tensor de inércia desse sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de três partículas pontuais com massas e coordenadas (peguei estes dados do enunciado):
  • Massa M_{1}=3M localizada em (b,0,b).
  • Massa M_{2}=4M localizada em (b,b,-b).
  • Massa M_{3}=2M localizada em (-b,b,0).
O que é pedido: determinar o tensor de inércia total desse sistema de partículas (isto é, a matriz 3\times3 do tensor de inércia em relação à origem de coordenadas fornecida).

Passo 2

O que é o tensor de inércia e a fórmula que vamos usar.
  • Intuição rápida: o tensor de inércia \mathbf{I} generaliza o momento de inércia para corpos que não são apenas rotados em torno de um eixo; é uma matriz que relaciona o vetor velocidade angular com o momento angular. Para partículas pontuais somamos as contribuições individuais.
  • Fórmula geral para um conjunto de partículas (índices i,j em \{x,y,z\}):
I_{ij}=\sum_{k} m_{k}\bigl(r_{k}^{2}\,\delta_{ij}-x_{k,i}\,x_{k,j}\bigr),
onde:
  • m_{k} é a massa da k-ésima partícula,
  • r_{k}^{2}=x_{k}^{2}+y_{k}^{2}+z_{k}^{2} é o quadrado da distância da partícula k à origem,
  • x_{k,i} é a componente i (ou seja, x,y ou z) da posição da partícula k,
  • \delta_{ij} é o delta de Kronecker ( \delta_{ij}=1 se i=j, e 0 se i\ne j).
Fórmulas úteis derivadas (usadas frequentemente para partículas):
\begin{aligned} I_{xx}&=\sum_{k} m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\\[4pt] I_{yy}&=\sum_{k} m_{k}(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\\[4pt] I_{zz}&=\sum_{k} m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\\[4pt] I_{xy}&=I_{yx}=-\sum_{k} m_{k}x_{k}y_{k},\\[4pt] I_{xz}&=I_{zx}=-\sum_{k} m_{k}x_{k}z_{k},\\[4pt] I_{yz}&=I_{zy}=-\sum_{k} m_{k}y_{k}z_{k}. \end{aligned}
Explicando as variáveis: x_k,y_k,z_k são as coordenadas da partícula k; I_{xx} é o elemento da linha x, coluna x da matriz, etc. Os elementos fora da diagonal aparecem com sinal negativo por causa do termo -x_{k,i}x_{k,j} na fórmula.]

Passo 3

Calcular r_k^2 (usando as coordenadas dadas) para cada partícula — isso ajuda a conferir consistência.
  • Para M_1=3M em (b,0,b):
r_1^{2}=b^{2}+0^{2}+b^{2}=2b^{2}.
  • Para M_2=4M em (b,b,-b):
r_2^{2}=b^{2}+b^{2}+(-b)^{2}=3b^{2}.
  • Para M_3=2M em (-b,b,0):
r_3^{2}=(-b)^{2}+b^{2}+0^{2}=2b^{2}.

Passo 4

Calcular I_{xx}=\sum m(y^{2}+z^{2}) somando as contribuições de cada partícula.
  • Para M_1=3M em (b,0,b): y^{2}+z^{2}=0^{2}+b^{2}=b^{2}. Contribuição: 3M\cdot b^{2}=3Mb^{2}.
  • Para M_2=4M em (b,b,-b): y^{2}+z^{2}=b^{2}+(-b)^{2}=2b^{2}. Contribuição: 4M\cdot 2b^{2}=8Mb^{2}.
  • Para M_3=2M em (-b,b,0): y^{2}+z^{2}=b^{2}+0^{2}=b^{2}. Contribuição: 2M\cdot b^{2}=2Mb^{2}.
Somando:
I_{xx}=3Mb^{2}+8Mb^{2}+2Mb^{2}=13Mb^{2}.

Passo 5

Calcular I_{yy}=\sum m(x^{2}+z^{2}).
  • M_1=3M em (b,0,b): x^{2}+z^{2}=b^{2}+b^{2}=2b^{2}. Contribuição: 3M\cdot 2b^{2}=6Mb^{2}.
  • M_2=4M em (b,b,-b): x^{2}+z^{2}=b^{2}+(-b)^{2}=2b^{2}. Contribuição: 4M\cdot 2b^{2}=8Mb^{2}.
  • M_3=2M em (-b,b,0): x^{2}+z^{2}=(-b)^{2}+0^{2}=b^{2}. Contribuição: 2M\cdot b^{2}=2Mb^{2}.
Somando:
I_{yy}=6Mb^{2}+8Mb^{2}+2Mb^{2}=16Mb^{2}.

Passo 6

Calcular I_{zz}=\sum m(x^{2}+y^{2}).
  • M_1=3M em (b,0,b): x^{2}+y^{2}=b^{2}+0^{2}=b^{2}. Contribuição: 3M\cdot b^{2}=3Mb^{2}.
  • M_2=4M em (b,b,-b): x^{2}+y^{2}=b^{2}+b^{2}=2b^{2}. Contribuição: 4M\cdot 2b^{2}=8Mb^{2}.
  • M_3=2M em (-b,b,0): x^{2}+y^{2}=(-b)^{2}+b^{2}=2b^{2}. Contribuição: 2M\cdot 2b^{2}=4Mb^{2}.
Somando:
I_{zz}=3Mb^{2}+8Mb^{2}+4Mb^{2}=15Mb^{2}.

Passo 7

Calcular os elementos fora da diagonal.
I_{xy} = -\sum m x y.
  • M_1: x y = b\cdot 0 =0 → contrib 0.
  • M_2: x y = b\cdot b = b^{2} → contrib -4M\cdot b^{2}=-4Mb^{2}.
  • M_3: x y = (-b)\cdot b = -b^{2} → contrib -2M\cdot(-b^{2})=+2Mb^{2}.
Somando:
I_{xy}=-4Mb^{2}+2Mb^{2}=-2Mb^{2}.
Pela simetria, I_{yx}=I_{xy}=-2Mb^{2}.
I_{xz} = -\sum m x z.
  • M_1: x z = b\cdot b = b^{2} → contrib -3M\cdot b^{2}=-3Mb^{2}.
  • M_2: x z = b\cdot(-b) = -b^{2} → contrib -4M\cdot(-b^{2})=+4Mb^{2}.
  • M_3: x z = (-b)\cdot 0 =0 → contrib 0.
Somando:
I_{xz}=-3Mb^{2}+4Mb^{2}=+Mb^{2}.
Então I_{zx}=I_{xz}=Mb^{2}.
I_{yz} = -\sum m y z.
  • M_1: y z = 0\cdot b =0 0.
  • M_2: y z = b\cdot(-b) = -b^{2} → contrib -4M\cdot(-b^{2})=+4Mb^{2}.
  • M_3: y z = b\cdot 0 =0 0.
Somando:
I_{yz}=4Mb^{2}.
E I_{zy}=I_{yz}=4Mb^{2}.

Passo 8

Montar o tensor de inércia (matriz simétrica) com os elementos calculados. Colocando tudo em forma matricial:
\mathbf{I}= \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz}\\[4pt] I_{yx} & I_{yy} & I_{yz}\\[4pt] I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13Mb^{2} & -2Mb^{2} & \;Mb^{2}\\[4pt] -2Mb^{2} & 16Mb^{2} & \;4Mb^{2}\\[4pt] \;Mb^{2} & \;4Mb^{2} & 15Mb^{2} \end{pmatrix}.
Para ficar mais compacto, pode-se fatorar Mb^{2}:
\mathbf{I}=Mb^{2} \begin{pmatrix} 13 & -2 & 1\\[4pt] -2 & 16 & 4\\[4pt] 1 & 4 & 15 \end{pmatrix}.]

Resposta

\mathbf{I}=Mb^{2} \begin{pmatrix} 13 & -2 & 1\\[4pt] -2 & 16 & 4\\[4pt] 1 & 4 & 15 \end{pmatrix}]

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