Duto cilíndrico cuja parede é constituída por um material de condutividade térmica " k " que varia linearmente com a temperatura segundo a função k=k_{0}(1+c . T), onde " \mathrm{k}_{0} " e " c " são constantes. Determine o fluxo de calor por comprimento unitário do duto. \boldsymbol{R}: \frac{\boldsymbol{Q r}}{\boldsymbol{L}}= \frac{\mathbf{2} \boldsymbol{\pi} k_{0}}{\boldsymbol{l} \boldsymbol{n} \frac{r \boldsymbol{e}}{r i}} \cdot\left[(\boldsymbol{T} \boldsymbol{i}-\boldsymbol{T} \boldsymbol{e})+\frac{\boldsymbol{c}}{\mathbf{2}} \cdot\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{i}^{\mathbf{2}}-\boldsymbol{T} \boldsymbol{e}^{\mathbf{2}}\right)\right].

Passo 1

O enunciado nos dá um duto cilíndrico com parede de condução de calor cujas propriedades são:
  • raio interno: r_i;
  • raio externo: r_e;
  • temperatura na superfície interna: T_i;
  • temperatura na superfície externa: T_e;
  • condutividade térmica que depende linearmente da temperatura: k(T)=k_0\bigl(1+c\,T\bigr), onde k_0 e c são constantes.
O que o problema pede: determinar o fluxo de calor por comprimento unitário do duto, isto é, encontrar \dfrac{Q_r}{L} em função de r_i,\;r_e,\;T_i,\;T_e,\;k_0,\;c.
Observação sobre hipóteses tacitas (usadas na resolução): busca-se o regime estacionário, unidimensional radial (simetria cilíndrica) e sem geração volumétrica de calor na parede.

Passo 2

Lembra da lei de Fourier para condução de calor: localmente, o fluxo de calor em direção radial é proporcional ao gradiente de temperatura e à condutividade. Em coordenadas cilíndricas, para circulação axial desprezada e simetria angular, o fluxo total por comprimento unitário (vou chamar Q' para simplificar, com Q'=\dfrac{Q_r}{L}) é dado por
Q' = -2\pi r\,k(T)\,\frac{dT}{dr}.
Explicando cada termo:
  • Q' é o fluxo de calor que atravessa uma seção cilíndrica de comprimento unitário (unidade: W/m);
  • o fator 2\pi r é o perímetro da circunferência de raio r, multiplicado por comprimento unitário dá área de seção transversal circular por onde o calor passa num anel de espessura infinitesimal;
  • k(T) é a condutividade no ponto (depende de T);
  • \dfrac{dT}{dr} é o gradiente radial de temperatura;
  • sinal negativo indica que o calor flui no sentido de decrescimento de T (do quente para o frio).
Como regime estacionário e sem fontes, Q' não depende de r (a mesma taxa de calor atravessa todos os anéis), portanto a expressão acima vale com Q' constante.

Passo 3

Reorganizando a equação para separar as variáveis r e T:
-2\pi r\,k(T)\,\frac{dT}{dr}=Q'.
Colocando os termos em forma separável:
k(T)\,dT = -\frac{Q'}{2\pi}\,\frac{dr}{r}.
Esta separação é a chave: integra-se o lado esquerdo em temperatura e o lado direito em raio, entre as condições de contorno correspondentes.

Passo 4

Substitui k(T)=k_0(1+cT) e integra entre as superfícies internas e externas. Integramos T de T_i até T_e e r de r_i até r_e:
\int_{T_i}^{T_e} k_0\bigl(1+cT\bigr)\,dT \;=\; -\frac{Q'}{2\pi}\int_{r_i}^{r_e}\frac{dr}{r}.
Calcule a integral da esquerda passo a passo:
\int_{T_i}^{T_e} k_0(1+cT)\,dT = k_0\left[ T + \frac{c}{2}T^2 \right]_{T_i}^{T_e} = k_0\Bigl( (T_e-T_i) + \frac{c}{2}\,(T_e^2-T_i^2)\Bigr).
A integral da direita é simples:
\int_{r_i}^{r_e}\frac{dr}{r} = \ln\!\frac{r_e}{r_i}.
Substituindo nas equações:
k_0\Bigl( (T_e-T_i) + \frac{c}{2}\,(T_e^2-T_i^2)\Bigr) = -\frac{Q'}{2\pi}\,\ln\!\frac{r_e}{r_i}.

Passo 5

Isolando Q' (lembre que Q'=\dfrac{Q_r}{L}) na equação anterior:
Q' = -2\pi\,\frac{k_0\Bigl( (T_e-T_i) + \tfrac{c}{2}\,(T_e^2-T_i^2)\Bigr)}{\ln\!\dfrac{r_e}{r_i}}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 e reordenando as diferenças de temperatura para a forma usual (T_i-T_e):
Q' = \frac{2\pi k_0}{\ln\!\dfrac{r_e}{r_i}}\left[(T_i-T_e)+\frac{c}{2}\,(T_i^2-T_e^2)\right].
Comentário prático: se c\to 0 (condutividade independente da temperatura) recupera-se a expressão clássica
Q'=\frac{2\pi k_0 (T_i-T_e)}{\ln\!\dfrac{r_e}{r_i}}.
Também, se T_i>T_e o Q' resultante é positivo (fluxo do interior para o exterior), consistente com a física.

Resposta

\frac{Q_r}{L}= \frac{2\pi k_0}{\ln\!\dfrac{r_e}{r_i}}\left[(T_i-T_e)+\frac{c}{2}\,(T_i^2-T_e^2)\right]

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