Duto cilíndrico cuja parede é constituída por um material de condutividade térmica "
" que varia linearmente com a temperatura segundo a função
, onde "
" e " c " são constantes. Determine o fluxo de calor por comprimento unitário do duto.
.
Passo 1
O enunciado nos dá um duto cilíndrico com parede de condução de calor cujas propriedades são:
- raio interno:
; - raio externo:
; - temperatura na superfície interna:
; - temperatura na superfície externa:
; - condutividade térmica que depende linearmente da temperatura:
, onde e são constantes.
O que o problema pede: determinar o fluxo de calor por comprimento unitário do duto, isto é, encontrar
em função de
.
Observação sobre hipóteses tacitas (usadas na resolução): busca-se o regime estacionário, unidimensional radial (simetria cilíndrica) e sem geração volumétrica de calor na parede.
Passo 2
Lembra da lei de Fourier para condução de calor: localmente, o fluxo de calor em direção radial é proporcional ao gradiente de temperatura e à condutividade. Em coordenadas cilíndricas, para circulação axial desprezada e simetria angular, o fluxo total por comprimento unitário (vou chamar
para simplificar, com
) é dado por
Explicando cada termo:
-
é o fluxo de calor que atravessa uma seção cilíndrica de comprimento unitário (unidade: W/m); - o fator
é o perímetro da circunferência de raio , multiplicado por comprimento unitário dá área de seção transversal circular por onde o calor passa num anel de espessura infinitesimal; -
é a condutividade no ponto (depende de ); -
é o gradiente radial de temperatura; - sinal negativo indica que o calor flui no sentido de decrescimento de
(do quente para o frio).
Como regime estacionário e sem fontes,
não depende de
(a mesma taxa de calor atravessa todos os anéis), portanto a expressão acima vale com
constante.
Passo 3
Reorganizando a equação para separar as variáveis
e
:
Colocando os termos em forma separável:
Esta separação é a chave: integra-se o lado esquerdo em temperatura e o lado direito em raio, entre as condições de contorno correspondentes.
Passo 4
Substitui
e integra entre as superfícies internas e externas. Integramos
de
até
e
de
até
:
Calcule a integral da esquerda passo a passo:
A integral da direita é simples:
Substituindo nas equações:
Passo 5
Isolando
(lembre que
) na equação anterior:
Multiplicando numerador e denominador por
e reordenando as diferenças de temperatura para a forma usual
:
Comentário prático: se
(condutividade independente da temperatura) recupera-se a expressão clássica
Também, se
o
resultante é positivo (fluxo do interior para o exterior), consistente com a física.