Considere uma placa plana de espessura
as superfieies
e
são mantidas respectivamente nas temperaturas T1 e T2 constantes, embora diferentes. Não há geração de energia dentro do sólido e K cte. Deduza a expressão de distribuição de temperatura
na placa. Desenvolva uma expressão para o fluxo de calor Q , através da placa com área A .
Passo 1
Resumo do enunciado — o que o problema dá e o que pede:
- Temos uma placa plana de espessura
. - A superfície em
está mantida à temperatura constante e a superfície em está mantida à temperatura constante . - Não há geração de energia (calor) no interior do sólido.
- A condutividade térmica
é constante. - A placa tem área transversal (à direção de fluxo) igual a
.
Perguntas que o enunciado faz:
- Deduza a expressão da distribuição de temperatura
ao longo da placa (para ). - Desenvolva uma expressão para o fluxo de calor
através da placa com área .
Todas as informações relevantes estão acima; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Montando a equação de conservação de energia (princípio físico) para condução unidimensional no regime estacionário:
- Imagine um pequeno elemento da placa entre
e . Em regime estacionário a energia que entra por uma face deve sair pela outra (não há acumulação) e não há geração interna. - Usando fluxo térmico unidimensional
(fluxo por unidade de área, com unidades ), a conservação dá
- A lei de Fourier relaciona o fluxo com o gradiente de temperatura:
- Como não há geração e estamos em regime estacionário, o fluxo é constante e, com
constante, isso implica
ou, simplificando (já que
é constante),
Aqui eu te expliquei: a equação diferencial que modela temperatura em 1D no regime estacionário sem geração e com
constante é
. Isso significa que a curvatura da temperatura é zero — a solução será uma função afim (reta).
Passo 3
Resolver a equação diferencial
:
- Integramos uma vez em relação a
:
onde
é uma constante de integração (representa o gradiente de temperatura, que será constante).
- Integramos uma segunda vez:
onde
é outra constante de integração (valor de temperatura em
quando ajustado).
Expliquei cada passo de integração: integrar uma equação de segunda ordem duas vezes reduz a constantes que são determinadas pelas condições de contorno.
Passo 4
Aplicar as condições de contorno para determinar
e
:
- Condição em
: . Substituindo em ,
- Condição em
: . Substituindo,
Comentário prático:
é o gradiente de temperatura constante; se
então
é negativo (temperatura decresce com
).
Passo 5
Escrevendo a solução final para a distribuição de temperatura:
- Substituindo
e em , obtemos
Interpretação didática: essa é uma reta que liga
a
. Em prova isso é o resultado clássico para condução estacionária unidimensional sem geração com condutividade constante — memorize a forma afim. Exemplo simples: se
e
e
, então a temperatura cai
por centímetro.
Passo 6
Determinar o fluxo de calor usando a lei de Fourier:
- A densidade de fluxo (fluxo por unidade de área) é
- Como
(constante), temos
Explicação do sinal: o sinal negativo na lei de Fourier indica que o calor flui na direção de decrescimento de temperatura. A expressão final
é positiva quando
, o que corresponde a fluxo do lado
para o lado
.
Passo 7
Fluxo total de calor através da placa (taxa de transferência de calor):
- Multiplicando a densidade de fluxo pela área transversal
, obtemos a taxa de calor (potência) que atravessa a placa:
Observações práticas:
-
tem unidades de potência (por exemplo ). - A expressão mostra que
aumenta com , com e com a diferença de temperatura , e diminui com a espessura . - Se
então no sentido de calor fluindo de para . Se preferir outro sentido, você pode inserir um sinal negativo conforme a convenção de direção.