Considere uma placa plana de espessura L as superfieies \mathrm{em} x=0 e x=L são mantidas respectivamente nas temperaturas T1 e T2 constantes, embora diferentes. Não há geração de energia dentro do sólido e K cte. Deduza a expressão de distribuição de temperatura T(x) na placa. Desenvolva uma expressão para o fluxo de calor Q , através da placa com área A .

Passo 1

Resumo do enunciado — o que o problema dá e o que pede:
  • Temos uma placa plana de espessura \,L\,.
  • A superfície em x=0 está mantida à temperatura constante \,T_1\; e a superfície em x=L está mantida à temperatura constante \,T_2.
  • Não há geração de energia (calor) no interior do sólido.
  • A condutividade térmica \,k\, é constante.
  • A placa tem área transversal (à direção de fluxo) igual a \,A\,.
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Deduza a expressão da distribuição de temperatura \,T(x)\, ao longo da placa (para 0\le x\le L).
  2. Desenvolva uma expressão para o fluxo de calor \,Q\, através da placa com área \,A\,.
Todas as informações relevantes estão acima; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Montando a equação de conservação de energia (princípio físico) para condução unidimensional no regime estacionário:
  • Imagine um pequeno elemento da placa entre x e x+\Delta x. Em regime estacionário a energia que entra por uma face deve sair pela outra (não há acumulação) e não há geração interna.
  • Usando fluxo térmico unidimensional q_x''(x) (fluxo por unidade de área, com unidades \mathrm{W/m^2}), a conservação dá
q_x''(x) = \text{constante em }x.
  • A lei de Fourier relaciona o fluxo com o gradiente de temperatura:
q_x''(x) = -k\,\frac{dT}{dx}.
  • Como não há geração e estamos em regime estacionário, o fluxo é constante e, com k constante, isso implica
\frac{d}{dx}\!\left(-k\frac{dT}{dx}\right) = 0,
ou, simplificando (já que k é constante),
\frac{d^2 T}{dx^2} = 0.
Aqui eu te expliquei: a equação diferencial que modela temperatura em 1D no regime estacionário sem geração e com k constante é \,d^2T/dx^2=0. Isso significa que a curvatura da temperatura é zero — a solução será uma função afim (reta).

Passo 3

Resolver a equação diferencial \,d^2T/dx^2=0\,:
  • Integramos uma vez em relação a x:
\frac{dT}{dx} = C_1,
onde \,C_1\, é uma constante de integração (representa o gradiente de temperatura, que será constante).
  • Integramos uma segunda vez:
T(x) = C_1 x + C_2,
onde \,C_2\, é outra constante de integração (valor de temperatura em x=0 quando ajustado).
Expliquei cada passo de integração: integrar uma equação de segunda ordem duas vezes reduz a constantes que são determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno para determinar \,C_1 e \,C_2:
  • Condição em x=0: T(0)=T_1. Substituindo em T(x)=C_1 x + C_2,
T_1 = C_1\cdot 0 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = T_1.
  • Condição em x=L: T(L)=T_2. Substituindo,
T_2 = C_1 L + C_2 = C_1 L + T_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{T_2 - T_1}{L}.
Comentário prático: C_1 é o gradiente de temperatura constante; se T_2<T_1 então C_1 é negativo (temperatura decresce com x).

Passo 5

Escrevendo a solução final para a distribuição de temperatura:
  • Substituindo \,C_1 e \,C_2 em T(x)=C_1 x + C_2, obtemos
T(x) = T_1 + \frac{T_2 - T_1}{L}\,x,\qquad 0\le x\le L.
Interpretação didática: essa é uma reta que liga (x=0,T=T_1) a (x=L,T=T_2). Em prova isso é o resultado clássico para condução estacionária unidimensional sem geração com condutividade constante — memorize a forma afim. Exemplo simples: se T_1=100^\circ\mathrm{C} e T_2=0^\circ\mathrm{C} e L=10\\ \mathrm{cm}, então a temperatura cai 10^\circ\mathrm{C} por centímetro.

Passo 6

Determinar o fluxo de calor usando a lei de Fourier:
  • A densidade de fluxo (fluxo por unidade de área) é
q_x'' = -k\,\frac{dT}{dx}.
  • Como \,dT/dx = \dfrac{T_2 - T_1}{L} (constante), temos
q_x'' = -k\,\frac{T_2 - T_1}{L} = k\,\frac{T_1 - T_2}{L}.
Explicação do sinal: o sinal negativo na lei de Fourier indica que o calor flui na direção de decrescimento de temperatura. A expressão final q_x''=k(T_1-T_2)/L é positiva quando T_1>T_2, o que corresponde a fluxo do lado x=0 para o lado x=L.

Passo 7

Fluxo total de calor através da placa (taxa de transferência de calor):
  • Multiplicando a densidade de fluxo pela área transversal \,A\,, obtemos a taxa de calor (potência) que atravessa a placa:
\dot{Q} = q_x''\,A = -kA\frac{dT}{dx} = kA\,\frac{T_1 - T_2}{L}.
Observações práticas:
  • \dot{Q} tem unidades de potência (por exemplo \mathrm{W}).
  • A expressão mostra que \dot{Q} aumenta com \,k\,, com \,A\, e com a diferença de temperatura (T_1-T_2), e diminui com a espessura \,L\,.
  • Se T_1>T_2 então \dot{Q}>0 no sentido de calor fluindo de x=0 para x=L. Se preferir outro sentido, você pode inserir um sinal negativo conforme a convenção de direção.

Resposta

T(x)=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x
\dot{Q}=kA\,\frac{T_{1}-T_{2}}{L}

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