Questão 2 - O gás A puro reage com gás B para gerar os produtos C e D, a 850^{\circ} \mathrm{C} e 1,7.10^{5} \mathrm{~Pa}, de acordo com a equação:
\mathrm{A}_{(\mathrm{g})}+2 \mathrm{~B}_{(\mathrm{g})} \rightarrow \mathrm{C}_{(\mathrm{s})}+4 \mathrm{D}_{(\mathrm{g})}
Considerando as correlações apresentadas no formulário, estime a difusividade mássica para A na mistura contendo 20 \% \mathrm{~mol} de \mathrm{A}, 50 \% \mathrm{~mol} de B e 30 \% \mathrm{~mol} de D ( \mathbf{2 , 5} pontos)
Table 1: Tabela - Dados para a correlação de Hirschfelder et al. (1949).
\captionsetup{labelformat=empty}
Composto Massa molar (g/mol) Parâmetros de Lennard-Jones
\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{A}}(\mathbf{A}) \boldsymbol{\varepsilon}_{\boldsymbol{A}} / \boldsymbol{k}(\mathbf{K})
A 180 5,080 358
B 2 2,968 33,3
D 38 3,305 360

Passo 1

O que o enunciado pede
  • Estimar a difusividade mássica (difusão efetiva) de A numa mistura gasosa que contém 20\% mol de A, 50\% mol de B e 30\% mol de D, a 850^\circ\mathrm{C} e 1{,}7\cdot 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Informações fornecidas (peguei estes dados da tabela do enunciado)
  • Massa molar: \;M_A=180\\ \mathrm{g/mol},\; M_B=2\\ \mathrm{g/mol},\; M_D=38\\ \mathrm{g/mol}.
  • Parâmetros de Lennard-Jones (peguei da tabela):
    \;\sigma_A=5{,}080\\ \text{\AA},\; \varepsilon_A/k = 358\\ \mathrm{K};
    \;\sigma_B=2{,}968\\ \text{\AA},\; \varepsilon_B/k = 33{,}3\\ \mathrm{K};
    \;\sigma_D=3{,}305\\ \text{\AA},\; \varepsilon_D/k = 360\\ \mathrm{K}.
Condições de processo
  • Temperatura: \;T = 850^\circ\mathrm{C} = 1123\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: \;P = 1{,}7\cdot 10^{5}\\ \mathrm{Pa} \approx 1{,}677\\ \mathrm{atm} (usei 1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}).
O que vou obter no final
  • Um valor estimado para a difusividade mássica efetiva de A na mistura, \;D_{A,m}, com unidades \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 2

Escolha do método (e por que)
  • O enunciado cita a correlação de Hirschfelder et al., então vou usar a correlação de Hirschfelder/Chapman–Enskog para calcular os coeficientes binários de difusão \;D_{A,B} e \;D_{A,D}.
  • Depois, para obter a difusividade efetiva de A na mistura multicomponente (mistura de B e D), vou usar a aproximação comum (válida quando não há transporte convectivo macroscópico e para estimativa): D_{A,m}=\frac{1-x_A}{\displaystyle\sum_{j\ne A}\frac{x_j}{D_{A j}}}onde x_i são frações molares da mistura. Essa expressão vem da formulação simplificada das leis de Stefan–Maxwell e é a abordagem prática usada em provas/tópicos de transporte de massa.
O que vamos calcular, em ordem
  1. calcular \sigma_{ij}=(\sigma_i+\sigma_j)/2 e \varepsilon_{ij}/k=\sqrt{(\varepsilon_i/k)(\varepsilon_j/k)} para os pares A\!-\!B e A\!-\!D;
  2. calcular a temperatura reduzida T^*=T/(\varepsilon_{ij}/k) e estimar o integral de colisão \Omega_{D} (usarei valores aproximados compatíveis com a literatura/Hirschfelder para esses T^*);
  3. aplicar a correlação de Hirschfelder (forma prática usada em engenharia) para obter D_{A,B} e D_{A,D};
  4. usar a fórmula da mistura para obter D_{A,m}.

Passo 3

Fórmula usada para os coeficientes binários e definição de variáveis
  • Vou usar a forma prática da correlação (forma comumente usada em livros de transporte de massa; explico o que cada termo significa):
D_{ij} = \frac{0{,}00266\;T^{3/2}}{P\;\sigma_{ij}^2\;\sqrt{\dfrac{1}{M_i}+\dfrac{1}{M_j}}\;\Omega_D}
onde:
  • D_{ij} é o coeficiente binário de difusão em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} (atenção às unidades nesta fórmula prática);
  • T é a temperatura em \mathrm{K};
  • P é a pressão em \mathrm{atm}; (por isso converti P para atm no Passo 1)
  • \sigma_{ij} é o diâmetro de colisão em \text{\AA} (angstroms) calculado abaixo;
  • M_i,M_j são as massas molares em \mathrm{g/mol};
  • \Omega_D é o integral de colisão adimensional (função de T^*);
  • o fator numérico 0{,}00266 é um fator empírico/derivado que aparece na forma prática usada quando se empregam as unidades indicadas (essa forma é a mesma que aparece em cursos e no formulário referido).
Observação didática curta sobre essa fórmula
  • A dependência T^{3/2} aparece porque partículas mais quentes movem-se mais rápido (mais difusão).
  • O denominador contém P (maior pressão → menos espaço entre moléculas → menor difusão), \sigma_{ij}^2 (maior tamanho efetivo → mais colisões efetivas → reduz difusão) e \Omega_D (corrige o efeito de interações intermoleculares reais).

Passo 4

Calcular \sigma_{ij} e \varepsilon_{ij}/k para os pares A\!-\!B e A\!-\!D (usei os dados da tabela do enunciado)
  • Para A\!-\!B: \sigma_{A B}=\frac{\sigma_A+\sigma_B}{2}=\frac{5{,}080+2{,}968}{2}=4{,}024\\ \text{\AA}.
\frac{\varepsilon_{A B}}{k}=\sqrt{\frac{\varepsilon_A}{k}\cdot\frac{\varepsilon_B}{k}}=\sqrt{358\cdot 33{,}3}\approx 109{,}2\\ \mathrm{K}.
  • Para A\!-\!D: \sigma_{A D}=\frac{\sigma_A+\sigma_D}{2}=\frac{5{,}080+3{,}305}{2}=4{,}1925\\ \text{\AA}.
\frac{\varepsilon_{A D}}{k}=\sqrt{358\cdot 360}\approx 359{,}0\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular as temperaturas reduzidas T^* e estimar \Omega_D (valor do integral de colisão)
  • Temperatura reduzida: T^*_{A B}=\frac{T}{\varepsilon_{AB}/k}=\frac{1123}{109{,}2}\approx 10{,}28.
T^*_{A D}=\frac{1123}{359{,}0}\approx 3{,}13.
  • Estimativa do integral de colisão \Omega_D: normalmente esse valor é obtido em tabelas/ajustes (Neufeld/Janzen/Alvarez ou Hirschfelder). Usei valores aproximados compatíveis com essas correlações:
    • para T^*_{A B}\approx 10{,}3, tomo \Omega_{D,AB}\approx 0{,}82.
    • para T^*_{A D}\approx 3{,}13, tomo \Omega_{D,AD}\approx 1{,}20.
Observação: estes \Omega_D são aproximações razoáveis para as faixas de T^* calculadas; em prova você usaria a tabela/correlação do formulário para obter valores mais precisos.

Passo 6

Conversões e constantes numéricas usadas (recapitulando)
  • T=1123\\ \mathrm{K}.
  • P=1{,}7\cdot 10^{5}\\ \mathrm{Pa}=1{,}677\\ \mathrm{atm}.
  • massas molares: M_A=180,\;M_B=2,\;M_D=38 (em \mathrm{g/mol}).
  • Vou aplicar a fórmula do Passo 3 com estes números.

Passo 7

Cálculo de D_{A,B} passo a passo (em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} pela forma escolhida)
  • Primeiro calcule T^{3/2}:
    T^{3/2}=1123^{3/2}=1123\sqrt{1123}\approx 1123\cdot 33{,}513\approx 3{,}7636\times 10^{4}.
  • Calcule o termo \sqrt{\dfrac{1}{M_A}+\dfrac{1}{M_B}}:
    \sqrt{\frac{1}{180}+\frac{1}{2}}=\sqrt{0{,}005556+0{,}5}=\sqrt{0{,}505556}\approx 0{,}7110.
  • Agora aplique a fórmula:
    D_{A,B}=\frac{0{,}00266\;T^{3/2}}{P\;\sigma_{A B}^2\;\sqrt{\dfrac{1}{M_A}+\dfrac{1}{M_B}}\;\Omega_{D,AB}}.
    Substituindo números:
    D_{A,B}=\frac{0{,}00266\cdot 3{,}7636\times 10^{4}}{1{,}677\cdot(4{,}024)^2\cdot 0{,}7110\cdot 0{,}82}.
  • Calculando numericamente (fazendo por etapas):
    \text{numerador}=0{,}00266\cdot 3{,}7636\times 10^{4}\approx 100{,}1.
\sigma_{AB}^2=(4{,}024)^2\approx 16{,}192.
\text{denominador}=1{,}677\cdot 16{,}192\cdot 0{,}7110\cdot 0{,}82\approx 15{,}82.
D_{A,B}\approx\frac{100{,}1}{15{,}82}\approx 6{,}33\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Converter para \mathrm{m}^2/\mathrm{s}: 1\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, logo D_{A,B}\approx 6{,}33\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 8

Cálculo de D_{A,D} passo a passo (em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s})
  • Primeiro calcule \sqrt{\dfrac{1}{M_A}+\dfrac{1}{M_D}}:
    \sqrt{\frac{1}{180}+\frac{1}{38}}=\sqrt{0{,}005556+0{,}026316}=\sqrt{0{,}031872}\approx 0{,}1785.
  • Aplicando a fórmula:
    D_{A,D}=\frac{0{,}00266\cdot 3{,}7636\times 10^{4}}{1{,}677\cdot(4{,}1925)^2\cdot 0{,}1785\cdot 1{,}20}.
  • Calculando numericamente:
    \text{numerador}=100{,}1 \quad(\text{mesmo que antes}).
\sigma_{AD}^2=(4{,}1925)^2\approx 17{,}579.
\text{denominador}=1{,}677\cdot 17{,}579\cdot 0{,}1785\cdot 1{,}20\approx 6{,}315.
D_{A,D}\approx\frac{100{,}1}{6{,}315}\approx 15{,}85\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Converter para \mathrm{m}^2/\mathrm{s}: D_{A,D}\approx 1{,}585\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 9

Interpretação rápida dos valores binários (sinalizando que é razoável)
  • Os valores obtidos são grandes porque a temperatura é alta ( 1123\\ \mathrm{K}) e porque uma das espécies é muito leve ( B com M=2), o que aumenta a mobilidade relativa. Em várias aplicações de alta temperatura a difusividade fica na faixa 10^{-5} a 10^{-3}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}; os valores calculados estão na ordem superior desta faixa, o que é plausível para T grande e presença de H_2-like ( B).

Passo 10

Cálculo da difusividade efetiva de A na mistura: usar \;D_{A,m}=\dfrac{1-x_A}{\sum_{j\ne A} x_j/D_{A j}}
  • Frações molares dadas: x_A=0{,}20,\; x_B=0{,}50,\; x_D=0{,}30.
  • Calcule as contribuições:
    \frac{x_B}{D_{A,B}}=\frac{0{,}50}{6{,}33\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}}=0{,}5/6{,}33\approx 0{,}0790\\ \mathrm{(s/cm^2)}.
\frac{x_D}{D_{A,D}}=\frac{0{,}30}{15{,}85\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}}=0{,}3/15{,}85\approx 0{,}01892\\ \mathrm{(s/cm^2)}.
\sum_{j\ne A}\frac{x_j}{D_{Aj}}\approx 0{,}0790+0{,}01892=0{,}09792\\ \mathrm{(s/cm^2)}.
  • Agora:
    D_{A,m}=\frac{1-x_A}{\displaystyle\sum_{j\ne A}\frac{x_j}{D_{A j}}}=\frac{0{,}80}{0{,}09792}\approx 8{,}17\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Converter para \mathrm{m}^2/\mathrm{s}:
    D_{A,m}\approx 8{,}17\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 11

Verificação final e comentário encorajador
  • Fiz uma estimativa consistente com a correlação de Hirschfelder e com aproximação usual para mistura multicomponente. Valores exatos dependem do valor preciso de \Omega_D que você obteria na tabela do formulário; usei aproximações razoáveis para \Omega_D. Se você usar a tabela/correlação do formulário para \Omega_D poderá ajustar ligeiramente o resultado.
  • Parabéns: você agora tem o passo a passo completo para aplicar essa correlação na prova — é só reproduzir estes passos com os valores de \Omega_D do formulário.

Resposta

\;D_{A,m}\approx 8{,}17\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}

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