4a Questão) Em um trabalho recente, a empresa foi chamada para verificar a construção de uma ponte sobre um rio caudaloso, com lâmina normal de
e largura próxima de 30 m , que pode ser aproximado por um canal retangular. A declividade de fundo vale
e o coeficiente de rugosidade do trecho analisado vale
. Neste cenário, responda:
a) qual o regime de escoamento (relação entre forças inercial e gravitacional) para o rio em questão? Justifique sua resposta
b) se a ponte terá três pilares com diâmetros iguais de cada lado, qual será o maior diâmetro possivel para que as condições do escoamento não sejam alteradas a montante da ponte?
c) se os pilares da ponte têm um diâmetro de
, qual será a altura d’água a montante da ponte? (chute inicial:
, faça apenas uma interação)
a) qual o regime de escoamento (relação entre forças inercial e gravitacional) para o rio em questão? Justifique sua resposta
b) se a ponte terá três pilares com diâmetros iguais de cada lado, qual será o maior diâmetro possivel para que as condições do escoamento não sejam alteradas a montante da ponte?
c) se os pilares da ponte têm um diâmetro de
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos:
Perguntas:
a) Determinar o regime de escoamento (relação entre forças inercial e gravitacional) para o rio com os dados acima e justificar.
b) Se a ponte terá três pilares com diâmetros iguais, qual o maior diâmetro possível para que as condições do escoamento não sejam alteradas a montante da ponte? (isto é, não provocar controle hidráulico que altere a cota a montante).
c) Se os pilares têm , determine a altura d’água a montante da ponte. Use chute inicial
e realize apenas uma iteração.
a) Determinar o regime de escoamento (relação entre forças inercial e gravitacional) para o rio com os dados acima e justificar.
b) Se a ponte terá três pilares com diâmetros iguais, qual o maior diâmetro possível para que as condições do escoamento não sejam alteradas a montante da ponte? (isto é, não provocar controle hidráulico que altere a cota a montante).
c) Se os pilares têm
Passo 2
Parte (a): calcular o regime através do número de Froude
, que compara forças inerciais e gravitacionais.
Explicação da fórmula e conceitos usados:
Explicação da fórmula e conceitos usados:
- Em canais de seção retangular larga (ou em geral para canal retangular), o raio hidráulico é
, onde é a área molhada e o perímetro molhado. - Para uma seção retangular de largura
e profundidade : e . Para canais largos ( ) o raio hidráulico aproxima-se de , mas aqui vamos calcular exatamente. - A fórmula de Manning para a velocidade média é
onde
é o raio hidráulico,
o coeficiente de Manning e
a declividade do fundo.
- O número de Froude é
Interpretação:
subcrítico (gravitacional domina — escoamento tranquilo),
crítico,
supercrítico (inercial domina — escoamento rápido).
Cálculos:
- Área molhada na condição normal
:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
- Velocidade média pela fórmula de Manning:
Agora avaliando numericamente:
- Número de Froude:
Conclusão (justificativa):
. Portanto o escoamento é subcrítico: as forças gravitacionais dominam sobre as inerciais, o escoamento é tranquilo e informações (nível) a montante podem “sentir” alterações a jusante (berger), mas, especificamente, para decidir se pilares podem alterar a montante, comparamos Froude no local contra 1 (ver parte b).
Passo 3
Parte (b): determinar o maior diâmetro possível dos três pilares para que as condições do escoamento não sejam alteradas a montante.
Estratégia e justificativa do método:
- O que significa “não alterar a montante”? Um modo prático e conservador é exigir que, ao considerar a seção contrita (onde os pilares ocupam área), o escoamento local ainda seja subcrítico para a mesma profundidade de referência (aqui
). Se na seção contrita a velocidade aumentasse de tal forma que o número de Froude local atingisse , um controle hidráulico (por exemplo, escoamento crítico ou salto hidráulico) poderia se formar gerando alteração a montante. Portanto usaremos o critério:
- Continuidade: a vazão
é determinada a montante (na seção sem pilares) e não muda. Então primeiro calculamos na condição normal sem pilares, depois exigimos que, na seção com pilares, a velocidade resultante (com a área reduzida) para a mesma profundidade satisfaça .
Cálculo da vazão a montante (seção livre, sem pilares):
Na seção com pilares, se a profundidade fosse ainda
, a área útil seria
onde
é a área submersa, em planta, ocupada por cada pilar (porção que obstrui o escoamento visto na seção perpendicular ao fluxo). Queremos a menor área
que ainda permita
. Usando
e a condição
, obtemos:
Avaliação numérica:
Portanto a área total bloqueada pelos três pilares não deve exceder
Assim a área submersa de cada pilar deve satisfazer
Agora relacionamos
com o diâmetro
do pilar. Há duas situações (depende se o pilar fica totalmente submerso dentro da lâmina
ou não):
- Se
então o círculo fica totalmente submerso e
- Se
então apenas uma parte da seção circular está submersa (o pilar “sobressai” acima da água). Neste caso é a área de um segmento circular de altura em um círculo de raio cujo fundo coincide com o leito, e a fórmula do segmento (altura medida desde o bordo inferior do círculo até a linha d’água) é
com
e aqui
fixo em
. (Essa fórmula dá a área submersa do círculo quando apenas uma parte está submersa.)
Agora resolvemos para o diâmetro máximo tal que
.
- Teste rápido: se usássemos a hipótese de círculo inteiro submerso
, obteríamos
porém esse
é maior que
, então a hipótese de círculo totalmente submerso é inconsistente: para
parte do círculo ficará acima da água, de modo que a área submersa real seria menor que
. Portanto precisamos usar a fórmula do segmento (caso
).
Resolução numérica (procura de
tal que
):
- Tentativas e aproximações (mostrando o raciocínio, uma breve busca):
- Para
(ou ) a área do segmento com dá aproximadamente (muito menor que ). - Para
(ou ) a área do segmento com é cerca de . - Para
(ou ) a área do segmento com é cerca de (ligeiramente acima de ). - Refinando, para
(ou ) a área do segmento com fica muito próxima de .
- Para
Portanto a solução do problema (usando a fórmula exata do segmento) dá um diâmetro máximo aproximadamente
Interpretação física: este valor parece grande porque, à medida que o pilar cresce em diâmetro mantendo a lâmina fixa em
, a parte efetivamente submersa do círculo (a “baixa” parte do pilar) cresceu lentamente até atingir a área crítica por volta de
. Em prática estrutural e de projeto, tais pilares tão largos são inviáveis por outras razões, mas matematicamente esse é o diâmetro máximo que respeita aqui o critério conservador adotado (
na seção contrita avaliada em
).
Passo 4
Parte (c): pilares com
. Calcular a altura d’água a montante da ponte usando uma iteração a partir do chute
(apenas uma iteração).
Estratégia e equações:
- A vazão conhecida (calculada em (b)) é
- Com
e assumindo pilares totalmente submersos se , a área submersa por pilar é a área do círculo:
- Área molhada da seção com pilares (função de
):
- Perímetro molhado (assumindo pilares totalmente submersos e que sua circunferência contribui integralmente ao perímetro molhado):
- Raio hidráulico:
- Expressão da vazão prevista pela equação de Manning (função de
):
Queremos achar
tal que
. Definimos a função:
Aplicamos uma iteração de Newton com chute
:
Precisamos calcular
e
.
Cálculos em
:
- Área:
- Perímetro:
- Raio hidráulico:
- Coeficiente
:
- Vazão calculada:
Numéricamente:
Logo
Agora a derivada
. Usamos a forma compacta
Dessa forma
com
e
. Para
e
próximo de 1, os pilares permanecem totalmente submersos, logo:
Avaliação numérica (em
):
- Calcular potências:
- Então
Calculando os termos:
Agora a iteração de Newton:
Assim, após uma iteração (com chute inicial
) obtemos uma profundidade estimada a montante:
Resposta
a) Subcrítico, pois
.\n
b) (diâmetro por pilar, usando o critério conservador
avaliado em
).\n
c) Com e uma iteração de Newton a partir de
:
.
b)
c) Com