4a Questão) Em um trabalho recente, a empresa foi chamada para verificar a construção de uma ponte sobre um rio caudaloso, com lâmina normal de 1,0 \mathrm{~m} e largura próxima de 30 m , que pode ser aproximado por um canal retangular. A declividade de fundo vale 0,0054 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e o coeficiente de rugosidade do trecho analisado vale n=0,035. Neste cenário, responda:
a) qual o regime de escoamento (relação entre forças inercial e gravitacional) para o rio em questão? Justifique sua resposta
b) se a ponte terá três pilares com diâmetros iguais de cada lado, qual será o maior diâmetro possivel para que as condições do escoamento não sejam alteradas a montante da ponte?
c) se os pilares da ponte têm um diâmetro de 1,0 \mathrm{~m}, qual será a altura d’água a montante da ponte? (chute inicial: y=1,0 \mathrm{~m}, faça apenas uma interação)

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Lâmina normal (profundidade normal): } y_n = 1{,}0\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Largura do canal (retangular): } B = 30\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Declividade do fundo: } S_0 = 0{,}0054 \\\ &\text{Coeficiente de rugosidade (Manning): } n = 0{,}035 \\\ &\text{Gravidade: } g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} \\\ &\text{Número de pilares atravessando a seção: } N=3 \end{aligned}âúçã
Perguntas:
a) Determinar o regime de escoamento (relação entre forças inercial e gravitacional) para o rio com os dados acima e justificar.
b) Se a ponte terá três pilares com diâmetros iguais, qual o maior diâmetro possível para que as condições do escoamento não sejam alteradas a montante da ponte? (isto é, não provocar controle hidráulico que altere a cota a montante).
c) Se os pilares têm d=1{,}0\\ \mathrm{m}, determine a altura d’água a montante da ponte. Use chute inicial \,y=1{,}0\\ \mathrm{m}\, e realize apenas uma iteração.

Passo 2

Parte (a): calcular o regime através do número de Froude \,F, que compara forças inerciais e gravitacionais.
Explicação da fórmula e conceitos usados:
  • Em canais de seção retangular larga (ou em geral para canal retangular), o raio hidráulico é \,R=\dfrac{A}{P}\,, onde A é a área molhada e P o perímetro molhado.
  • Para uma seção retangular de largura B e profundidade y: \,A = B\,y e \,P = B + 2y. Para canais largos ( B\gg y) o raio hidráulico aproxima-se de y, mas aqui vamos calcular exatamente.
  • A fórmula de Manning para a velocidade média é
V = \dfrac{1}{n}\,R^{2/3}\,S_0^{1/2},
onde R é o raio hidráulico, n o coeficiente de Manning e S_0 a declividade do fundo.
  • O número de Froude é
F = \dfrac{V}{\sqrt{g\,y}}.
Interpretação: F<1 subcrítico (gravitacional domina — escoamento tranquilo), F=1 crítico, F>1 supercrítico (inercial domina — escoamento rápido).
Cálculos:
  • Área molhada na condição normal \,y=1{,}0\\ \mathrm{m}:
A = B\,y = 30\cdot 1 = 30\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro molhado:
P = B + 2y = 30 + 2\cdot 1 = 32\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
R = \dfrac{A}{P} = \dfrac{30}{32} = 0{,}9375\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade média pela fórmula de Manning:
V = \dfrac{1}{n} R^{2/3} S_0^{1/2} = \dfrac{1}{0{,}035}\,(0{,}9375)^{2/3}\,\sqrt{0{,}0054}.
Agora avaliando numericamente:
(0{,}9375)^{2/3}\approx 0{,}9579,\qquad \sqrt{0{,}0054}\approx 0{,}07348,
V \approx 28{,}5714\cdot 0{,}9579\cdot 0{,}07348 \approx 2{,}01\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Froude:
F = \dfrac{V}{\sqrt{g\,y}} = \dfrac{2{,}01}{\sqrt{9{,}81\cdot 1}} = \dfrac{2{,}01}{3{,}132} \approx 0{,}642.
Conclusão (justificativa): \,F\approx 0{,}64<1. Portanto o escoamento é subcrítico: as forças gravitacionais dominam sobre as inerciais, o escoamento é tranquilo e informações (nível) a montante podem “sentir” alterações a jusante (berger), mas, especificamente, para decidir se pilares podem alterar a montante, comparamos Froude no local contra 1 (ver parte b).

Passo 3

Parte (b): determinar o maior diâmetro possível dos três pilares para que as condições do escoamento não sejam alteradas a montante.
Estratégia e justificativa do método:
  • O que significa “não alterar a montante”? Um modo prático e conservador é exigir que, ao considerar a seção contrita (onde os pilares ocupam área), o escoamento local ainda seja subcrítico para a mesma profundidade de referência (aqui \,y=1{,}0\\ \mathrm{m}\,). Se na seção contrita a velocidade aumentasse de tal forma que o número de Froude local atingisse F\ge1, um controle hidráulico (por exemplo, escoamento crítico ou salto hidráulico) poderia se formar gerando alteração a montante. Portanto usaremos o critério:
F_{\text{contrito}} \le 1 \quad\text{avaliado assumindo profundidade } y=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Continuidade: a vazão Q é determinada a montante (na seção sem pilares) e não muda. Então primeiro calculamos Q na condição normal sem pilares, depois exigimos que, na seção com pilares, a velocidade resultante (com a área reduzida) para a mesma profundidade y=1 satisfaça V_2 \le \sqrt{g\,y}.
Cálculo da vazão a montante (seção livre, sem pilares):
Q = A_1\,V_1 = (B\,y)\,V_1 = 30\cdot 1 \cdot 2{,}01 \approx 60{,}3\\ \mathrm{m^3/s}.
Na seção com pilares, se a profundidade fosse ainda y=1, a área útil seria
A_2 = B\,y - N\cdot A_p,
onde A_p é a área submersa, em planta, ocupada por cada pilar (porção que obstrui o escoamento visto na seção perpendicular ao fluxo). Queremos a menor área \,A_2 que ainda permita V_2\le \sqrt{g\,y}. Usando V_2 = Q/A_2 e a condição V_2 \le \sqrt{g\,y}, obtemos:
A_2 \ge \dfrac{Q}{\sqrt{g\,y}}.
Avaliação numérica:
\dfrac{Q}{\sqrt{g\,y}} = \dfrac{60{,}3}{\sqrt{9{,}81\cdot 1}} = \dfrac{60{,}3}{3{,}132} \approx 19{,}26\\ \mathrm{m^2}.
Portanto a área total bloqueada pelos três pilares não deve exceder
\text{Área bloqueada máxima} = B\,y - A_2 = 30 - 19{,}26 = 10{,}74\\ \mathrm{m^2}.Áá
Assim a área submersa de cada pilar deve satisfazer
A_p \le \dfrac{10{,}74}{3} \approx 3{,}58\\ \mathrm{m^2}.
Agora relacionamos A_p com o diâmetro d do pilar. Há duas situações (depende se o pilar fica totalmente submerso dentro da lâmina y ou não):
  • Se \,d \le y então o círculo fica totalmente submerso e
A_p = \dfrac{\pi d^2}{4}.
  • Se \,d > y então apenas uma parte da seção circular está submersa (o pilar “sobressai” acima da água). Neste caso A_p é a área de um segmento circular de altura h=y em um círculo de raio r=d/2 cujo fundo coincide com o leito, e a fórmula do segmento (altura medida desde o bordo inferior do círculo até a linha d’água) é
A_p(r;y) = r^2\operatorname{arccos}\!\Big(\dfrac{r-y}{r}\Big) - (r-y)\sqrt{2ry - y^2},
com r=\dfrac{d}{2} e aqui y fixo em 1{,}0\\ \mathrm{m}. (Essa fórmula dá a área submersa do círculo quando apenas uma parte está submersa.)
Agora resolvemos para o diâmetro máximo tal que A_p = 3{,}58\\ \mathrm{m^2}.
  • Teste rápido: se usássemos a hipótese de círculo inteiro submerso A_p=\pi d^2/4, obteríamos
d = \sqrt{\dfrac{4A_p}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{4\cdot 3{,}58}{\pi}} \approx 2{,}13\\ \mathrm{m},
porém esse d é maior que y=1{,}0\\ \mathrm{m}, então a hipótese de círculo totalmente submerso é inconsistente: para d=2{,}13 parte do círculo ficará acima da água, de modo que a área submersa real seria menor que \pi d^2/4. Portanto precisamos usar a fórmula do segmento (caso d>1).
Resolução numérica (procura de r tal que A_p(r;1{,}0)=3{,}58):
  • Tentativas e aproximações (mostrando o raciocínio, uma breve busca):
    • Para r=1{,}065 (ou d\approx 2{,}13) a área do segmento com y=1 dá aproximadamente 1{,}64\\ \mathrm{m^2} (muito menor que 3{,}58).
    • Para r=2 (ou d=4{,}0) a área do segmento com y=1 é cerca de 2{,}46\\ \mathrm{m^2}.
    • Para r=4 (ou d=8{,}0) a área do segmento com y=1 é cerca de 3{,}63\\ \mathrm{m^2} (ligeiramente acima de 3{,}58).
    • Refinando, para r\approx 3{,}8 (ou d\approx 7{,}6) a área do segmento com y=1 fica muito próxima de 3{,}58\\ \mathrm{m^2}.
Portanto a solução do problema (usando a fórmula exata do segmento) dá um diâmetro máximo aproximadamente
d_{\max} \approx 7{,}6\\ \mathrm{m}.
Interpretação física: este valor parece grande porque, à medida que o pilar cresce em diâmetro mantendo a lâmina fixa em y=1{,}0\\ \mathrm{m}, a parte efetivamente submersa do círculo (a “baixa” parte do pilar) cresceu lentamente até atingir a área crítica por volta de d\approx 7{,}6\\ \mathrm{m}. Em prática estrutural e de projeto, tais pilares tão largos são inviáveis por outras razões, mas matematicamente esse é o diâmetro máximo que respeita aqui o critério conservador adotado ( F\le 1 na seção contrita avaliada em y=1).

Passo 4

Parte (c): pilares com d=1{,}0\\ \mathrm{m}. Calcular a altura d’água a montante da ponte usando uma iteração a partir do chute y^{(0)}=1{,}0\\ \mathrm{m} (apenas uma iteração).
Estratégia e equações:
  • A vazão conhecida (calculada em (b)) é
Q = 60{,}3\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Com d=1{,}0\\ \mathrm{m} e assumindo pilares totalmente submersos se y\ge 1, a área submersa por pilar é a área do círculo:
A_p = \dfrac{\pi d^2}{4} = \dfrac{\pi\cdot 1^2}{4} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}7854\\ \mathrm{m^2}.
  • Área molhada da seção com pilares (função de y):
A(y) = B\,y - N\,A_p = 30\,y - 3\cdot 0{,}7854 = 30\,y - 2{,}3562.
  • Perímetro molhado (assumindo pilares totalmente submersos e que sua circunferência contribui integralmente ao perímetro molhado):
P(y) = B + 2y + N\cdot (\pi d) = 30 + 2y + 3\pi\cdot 1.
  • Raio hidráulico:
R(y) = \dfrac{A(y)}{P(y)}.
  • Expressão da vazão prevista pela equação de Manning (função de y):
Q_{\text{calc}}(y) = \dfrac{1}{n}\,A(y)\,R(y)^{2/3}\,S_0^{1/2}.
Queremos achar y tal que Q_{\text{calc}}(y)=Q. Definimos a função:
f(y) = Q_{\text{calc}}(y) - Q.
Aplicamos uma iteração de Newton com chute y^{(0)}=1:
y^{(1)} = y^{(0)} - \dfrac{f(y^{(0)})}{f'(y^{(0)})}.
Precisamos calcular f(y^{(0)}) e f'(y^{(0)}).
Cálculos em y^{(0)}=1{,}0\\ \mathrm{m}:
  • Área:
A(1) = 30\cdot 1 - 2{,}3562 = 27{,}6438\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro:
P(1) = 30 + 2\cdot 1 + 3\pi \cdot 1 = 30 + 2 + 9{,}4248 = 41{,}4248\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
R(1) = \dfrac{27{,}6438}{41{,}4248} \approx 0{,}6676\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente K=(1/n)\sqrt{S_0}:
K = \dfrac{1}{0{,}035}\sqrt{0{,}0054} \approx 28{,}5714\cdot 0{,}07348 \approx 2{,}0995.
  • Vazão calculada:
Q_{\text{calc}}(1) = K\;A(1)\;R(1)^{2/3}.
Numéricamente:
R(1)^{2/3}\approx 0{,}7644,\quad Q_{\text{calc}}(1) \approx 2{,}0995\cdot 27{,}6438\cdot 0{,}7644 \approx 44{,}33\\ \mathrm{m^3/s}.
Logo
f(1) = Q_{\text{calc}}(1) - Q \approx 44{,}33 - 60{,}30 = -15{,}97\\ \mathrm{m^3/s}.
Agora a derivada f'(y). Usamos a forma compacta
Q_{\text{calc}}(y)=K\,\dfrac{A(y)^{5/3}}{P(y)^{2/3}}.
Dessa forma
f'(y) = K\left[\dfrac{5}{3}\dfrac{A^{2/3}A'}{P^{2/3}} - \dfrac{2}{3}\dfrac{A^{5/3}P'}{P^{5/3}}\right],
com A'=dA/dy e P'=dP/dy. Para d=1 e y próximo de 1, os pilares permanecem totalmente submersos, logo:
A' = \dfrac{d}{dy}\big(30y - 2{,}3562\big) = 30,\qquad P' = \dfrac{d}{dy}\big(30 + 2y + 3\pi\big) = 2.
Avaliação numérica (em y=1):
  • Calcular potências:
A(1)^{2/3}\approx 9{,}126,\quad A(1)^{5/3}\approx 252{,}5,
P(1)^{2/3}\approx 11{,}96,\quad P(1)^{5/3}\approx 495{,}6.
  • Então
f'(1) \approx 2{,}0995\left[\dfrac{5}{3}\cdot \dfrac{9{,}126\cdot 30}{11{,}96} - \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{252{,}5\cdot 2}{495{,}6}\right].
Calculando os termos:
\text{primeiro termo}\approx \dfrac{5}{3}\cdot \dfrac{273{,}78}{11{,}96}\approx 38{,}15, \quad \text{segundo termo}\approx \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{505}{495{,}6}\approx 0{,}679.
f'(1) \approx 2{,}0995\cdot (38{,}15 - 0{,}679) \approx 2{,}0995\cdot 37{,}47 \approx 78{,}75\\ \mathrm{(m^3/s)/m}.
Agora a iteração de Newton:
y^{(1)} = 1{,}0 - \dfrac{-15{,}97}{78{,}75} \approx 1{,}0 + 0{,}2028 \approx 1{,}2028\\ \mathrm{m}.
Assim, após uma iteração (com chute inicial 1{,}0\\ \mathrm{m}) obtemos uma profundidade estimada a montante:
y \approx 1{,}20\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) Subcrítico, pois \;F\approx 0{,}64<1.\n
b) d_{\max}\approx 7{,}6\\ \mathrm{m} (diâmetro por pilar, usando o critério conservador F_{\text{contrito}}\le 1 avaliado em y=1{,}0\\ \mathrm{m}).\n
c) Com d=1{,}0\\ \mathrm{m} e uma iteração de Newton a partir de y^{(0)}=1{,}0\\ \mathrm{m}: y^{(1)}\approx 1{,}20\\ \mathrm{m}.

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