Questão 3 - Em processo de dessorção, um composto líquido (A), com movimento ascendente, é absorvido pelo meio gasoso, em um tanque de diâmetro 30 cm . Na interface líquido/gás, a concentração molar de A é
. A espessura da região (película) de estudo,
; é definida de modo que para além desta película a concentração de A seja nula. No processo não há reação química. O sistema está em estado estacionário, o gás absorvedor B permanece estagnado e a concentração mássica de A no meio gasoso é baixa. A difusividade mássica de A na mistura
é
.
a) Apresente o esquema do problema mencionado, identificando a região d estudo e definindo o eixo referencial adotado, o(s) sentido(s) e a(s) direção(ões) do(s)
fluxo(s) de massa. A partir da Equação de Fick e da Equação da Continuidade, presentes no formulário, apresente o desenvolvimento matemático, cite e explique, com suas palavras, as considerações necessárias e determine o valor de taxa mássica do componente A no sistema. (1,5 pontos)
b) A partir da Equação de Fick e da Equação da Continuidade, presentes no formulário, apresente o desenvolvimento matemático, cite e explique, com suas palavras, as considerações necessárias. Determine a equação numérica que representa o perfil de concentrações mássicas de A na região de estudo e sua faixa de validade, caso haja. (1,5 pontos)
a) Apresente o esquema do problema mencionado, identificando a região d estudo e definindo o eixo referencial adotado, o(s) sentido(s) e a(s) direção(ões) do(s)
fluxo(s) de massa. A partir da Equação de Fick e da Equação da Continuidade, presentes no formulário, apresente o desenvolvimento matemático, cite e explique, com suas palavras, as considerações necessárias e determine o valor de taxa mássica do componente A no sistema. (1,5 pontos)
b) A partir da Equação de Fick e da Equação da Continuidade, presentes no formulário, apresente o desenvolvimento matemático, cite e explique, com suas palavras, as considerações necessárias. Determine a equação numérica que representa o perfil de concentrações mássicas de A na região de estudo e sua faixa de validade, caso haja. (1,5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (item a) Determinar a taxa mássica de A que atravessa a película e é absorvida pelo gás (ou seja, a massa por tempo que sai da interface para o gás).
- (item b) Determinar a equação que representa o perfil de concentração mássica de A na película e dizer a faixa de validade dessa equação.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado dá):
- Diâmetro do tanque:
. - Concentração mássica de A na interface líquido/gás (no lado gasoso junto à interface):
. - Espessura da película de estudo:
. É definido que para além desta película a concentração de A seja nula. - Não há reação química no sistema.
- O gás absorvedor B está estagnado (ou seja, sem velocidade convectiva).
- A concentração de A no meio gasoso é baixa (situação diluída).
- Difusividade mássica de A na mistura A/B:
.
Observação de consistência de unidades (vou usar o SI: metros, segundos, kg ou g conforme conveniente). Não pergunto nada adicional — uso exatamente esses dados.
Passo 2
Esquema físico e eixo referencial (descrição para você desenhar mentalmente ou no rascunho):
- Imagine a interface plano-horizontal entre o líquido abaixo e o gás acima. Estamos interessados na película gasosa imediatamente acima da interface, espessa
. - Adoto um eixo
normal à interface, com origem na interface e positivo para cima, entrando no gás. Assim: -
corresponde à interface líquido/gás (concentração conforme enunciado). -
é o limite da película, onde (dado pelo enunciado).
-
- Direção do fluxo: A difusão leva A do líquido para o gás (do
para ), então o fluxo de massa por difusão aponta no sentido positivo do eixo (para cima). - Região de estudo: o intervalo unidimensional
(a película onde ocorre transporte difusivo).
Passo 3
Equações fundamentais e considerações físicas (explicadas bem devagar):
-
Fick (1ª lei) relaciona fluxo difusivo de massa com gradiente de concentração. Em forma unidimensional para o fluxo de massa por área (taxa mássica por unidade de área)
: onde:-
é o fluxo de massa de A em , -
é a difusividade mássica de A na mistura A/B (em ), -
é a concentração mássica de A (em ), -
é o gradiente espacial de concentração.
-
-
Equação de continuidade (balanço de massa sem geração nem acumulação no estado estacionário): em uma situação unidimensional e sem reação,Em regime estacionário
, logo o que significa queé constante ao longo de dentro da película. -
Considerações físicas explicadas:
- “Gás estagnado” implica que convectivamente não há transporte por velocidade do fluido; apenas difusão molecular conta.
- “Concentração baixa” e mistura A/B diluída permitem considerar
praticamente constante (independente de ). - Não há reação, então não há termo de geração/consumo de A no balanço.
- Estado estacionário: perfil de concentração não muda com o tempo.
Essas hipóteses permitem reduzir o problema a uma equação muito simples.
Passo 4
Transformação das equações em uma equação simples e solução geral:
- Como
, é constante. Pela Lei de Fick, - Reescrevendo para obter uma equação para
: - Integro em
(integração simples, porque o lado direito é constante): onde é constante de integração.
Passo 5
Aplicação das condições de contorno para determinar constantes e obter solução explícita:
- Condições de contorno dadas:
-
. -
.
-
- Usando
obtemos .
Assim - Aplicando
: - Portanto o fluxo constante é
- Substituindo este
de volta na expressão de obtemos o perfil: Esta é a solução linear esperada para difusão estacionária através de uma película com concentrações fixas nas fronteiras.
Passo 6
Interpretação do sinal do fluxo e sentido físico:
- A expressão
é positiva porque adotei no sentido do fluxo (do interior da interface para cima). Se alguém usasse a convenção matemática “fluxo para positivo é negativo de gradiente”, a magnitude absoluta do fluxo seria . - Fisicamente: há transporte de massa de A do líquido para o gás por difusão, com magnitude dada por
acima.
Passo 7
Conversões numéricas e cálculo da taxa mássica total (item a):
- Primeiro converter
para unidades SI (m^2/s). Dado: .
Sabendo que, - Calcular o fluxo por unidade de área
: Faço as contas com calma: Logo Arredondando razoavelmente: - Agora a taxa mássica total que sai pela área da superfície do tanque: preciso da área
onde ocorre a transferência. Como o tanque tem seção circular de diâmetro , o raio é . A área da seção (plano da interface) é Calculo: - A taxa mássica total
(em ) é : Multiplicando: Em unidades SI de massa (kg/s):
Passo 8
Resumo das equações finais e validade (item b) e checagem das hipóteses:
- Perfil de concentração encontrado:
- Faixa de validade/hipóteses (o que precisa ser verdadeiro para usar essa solução):
- Regime estacionário (perfil não varia com o tempo).
- Transporte por difusão molecular unidimensional predominante (gás estagnado, negligência de convecção).
- Difusividade
constante (válido se a composição e temperatura não variarem muito na película). - Baixa concentração de A (mistura diluída), de modo que propriedades físicas e
são razoavelmente constantes. - Condição limite
é que o reservatório além da película tem concentração desprezível (dado pelo enunciado).
Se alguma dessas hipóteses falhar (por exemplo houver escoamento do gás, reação, variação forte deou concentração finita além de ), a expressão linear e o cálculo do fluxo precisam ser revistos.
Passo 9
Últimas observações rápidas de amigo (foco em prova):
- No exame, descreva claramente o eixo e as CCs, escreva Fick e continuidade, diga por que
é constante e integre; aplique CCs e calcule . Não esqueça de converter unidades com cuidado (cm^2/s para m^2/s foi crucial). Vai dar certo — respira e segue o fluxo passo a passo.
Resposta
(a)
(equivalente a
).\n(b)
, válida para
sob as hipóteses: regime estacionário, gás estagnado (sem convecção),
constante e mistura diluída.