Questão 3 - Em processo de dessorção, um composto líquido (A), com movimento ascendente, é absorvido pelo meio gasoso, em um tanque de diâmetro 30 cm . Na interface líquido/gás, a concentração molar de A é 4,5 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^{3}. A espessura da região (película) de estudo, \delta=0,85 \mathrm{~m}; é definida de modo que para além desta película a concentração de A seja nula. No processo não há reação química. O sistema está em estado estacionário, o gás absorvedor B permanece estagnado e a concentração mássica de A no meio gasoso é baixa. A difusividade mássica de A na mistura \mathrm{A} / \mathrm{B} é 1 \times 10^{-1} \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}.
a) Apresente o esquema do problema mencionado, identificando a região d estudo e definindo o eixo referencial adotado, o(s) sentido(s) e a(s) direção(ões) do(s)
fluxo(s) de massa. A partir da Equação de Fick e da Equação da Continuidade, presentes no formulário, apresente o desenvolvimento matemático, cite e explique, com suas palavras, as considerações necessárias e determine o valor de taxa mássica do componente A no sistema. (1,5 pontos)
b) A partir da Equação de Fick e da Equação da Continuidade, presentes no formulário, apresente o desenvolvimento matemático, cite e explique, com suas palavras, as considerações necessárias. Determine a equação numérica que representa o perfil de concentrações mássicas de A na região de estudo e sua faixa de validade, caso haja. (1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. (item a) Determinar a taxa mássica de A que atravessa a película e é absorvida pelo gás (ou seja, a massa por tempo que sai da interface para o gás).
  2. (item b) Determinar a equação que representa o perfil de concentração mássica de A na película e dizer a faixa de validade dessa equação.
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado dá):
  • Diâmetro do tanque: 30\\ \mathrm{cm}.
  • Concentração mássica de A na interface líquido/gás (no lado gasoso junto à interface): 4{,}5\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^3.
  • Espessura da película de estudo: \delta = 0{,}85\\ \mathrm{m}. É definido que para além desta película a concentração de A seja nula.
  • Não há reação química no sistema.
  • O gás absorvedor B está estagnado (ou seja, sem velocidade convectiva).
  • A concentração de A no meio gasoso é baixa (situação diluída).
  • Difusividade mássica de A na mistura A/B: 1\times 10^{-1}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Observação de consistência de unidades (vou usar o SI: metros, segundos, kg ou g conforme conveniente). Não pergunto nada adicional — uso exatamente esses dados.

Passo 2

Esquema físico e eixo referencial (descrição para você desenhar mentalmente ou no rascunho):
  • Imagine a interface plano-horizontal entre o líquido abaixo e o gás acima. Estamos interessados na película gasosa imediatamente acima da interface, espessa \delta.
  • Adoto um eixo x normal à interface, com origem na interface e positivo para cima, entrando no gás. Assim:
    • x=0 corresponde à interface líquido/gás (concentração c(0)=4{,}5\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^3 conforme enunciado).
    • x=\delta é o limite da película, onde c(\delta)=0 (dado pelo enunciado).
  • Direção do fluxo: A difusão leva A do líquido para o gás (do x=0 para x=\delta), então o fluxo de massa por difusão aponta no sentido positivo do eixo x (para cima).
  • Região de estudo: o intervalo unidimensional 0\le x\le \delta (a película onde ocorre transporte difusivo).

Passo 3

Equações fundamentais e considerações físicas (explicadas bem devagar):
  • Fick (1ª lei) relaciona fluxo difusivo de massa com gradiente de concentração. Em forma unidimensional para o fluxo de massa por área (taxa mássica por unidade de área) J(x):
    J(x) = -D\;\frac{dc}{dx}
    onde:
    • J(x) é o fluxo de massa de A em \mathrm{g}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}),
    • D é a difusividade mássica de A na mistura A/B (em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}),
    • c(x) é a concentração mássica de A (em \mathrm{g}/\mathrm{m}^3),
    • \frac{dc}{dx} é o gradiente espacial de concentração.
  • Equação de continuidade (balanço de massa sem geração nem acumulação no estado estacionário): em uma situação unidimensional e sem reação,
    \frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x} = 0.
    Em regime estacionário \partial c/\partial t = 0, logo
    \frac{dJ}{dx} = 0,
    o que significa que J é constante ao longo de x dentro da película.
  • Considerações físicas explicadas:
    • “Gás estagnado” implica que convectivamente não há transporte por velocidade do fluido; apenas difusão molecular conta.
    • “Concentração baixa” e mistura A/B diluída permitem considerar D praticamente constante (independente de x).
    • Não há reação, então não há termo de geração/consumo de A no balanço.
    • Estado estacionário: perfil de concentração não muda com o tempo.
      Essas hipóteses permitem reduzir o problema a uma equação muito simples.

Passo 4

Transformação das equações em uma equação simples e solução geral:
  • Como \dfrac{dJ}{dx}=0, J é constante. Pela Lei de Fick, J = -D\;\frac{dc}{dx} = \text{constante}.
  • Reescrevendo para obter uma equação para c(x): \frac{dc}{dx} = -\frac{J}{D}.
  • Integro em x (integração simples, porque o lado direito é constante): c(x) = -\frac{J}{D}\,x + C_1,onde C_1 é constante de integração.

Passo 5

Aplicação das condições de contorno para determinar constantes e obter solução explícita:
  • Condições de contorno dadas:
    • c(0) = 4{,}5\\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^3.
    • c(\delta) = 0.
  • Usando c(0)=4{,}5 obtemos C_1 = 4{,}5.
    Assim c(x) = -\frac{J}{D}\,x + 4{,}5.
  • Aplicando c(\delta)=0: 0 = -\frac{J}{D}\,\delta + 4{,}5 \quad\Rightarrow\quad \frac{J}{D} = \frac{4{,}5}{\delta}.
  • Portanto o fluxo constante é J = D\;\frac{4{,}5}{\delta}.
  • Substituindo este J de volta na expressão de c(x) obtemos o perfil: c(x) = 4{,}5\left(1 - \frac{x}{\delta}\right),\quad 0\le x\le \delta.Esta é a solução linear esperada para difusão estacionária através de uma película com concentrações fixas nas fronteiras.

Passo 6

Interpretação do sinal do fluxo e sentido físico:
  • A expressão J = D\,(4{,}5/\delta) é positiva porque adotei x no sentido do fluxo (do interior da interface para cima). Se alguém usasse a convenção matemática “fluxo para positivo é negativo de gradiente”, a magnitude absoluta do fluxo seria |J| = D\,4{,}5/\delta.
  • Fisicamente: há transporte de massa de A do líquido para o gás por difusão, com magnitude dada por J acima.

Passo 7

Conversões numéricas e cálculo da taxa mássica total (item a):
  • Primeiro converter D para unidades SI (m^2/s). Dado: D = 1\times 10^{-1}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
    Sabendo que 1\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2, D = 1\times 10^{-1}\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} = 1\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Calcular o fluxo por unidade de área J: J = D\;\frac{4{,}5}{\delta} = 1\times 10^{-5}\times\frac{4{,}5}{0{,}85}\\ \mathrm{\frac{g}{m^2\cdot s}}.Faço as contas com calma: \frac{4{,}5}{0{,}85}= \frac{45}{8{,}5}=5{,}294117647\ldotsLogo J \approx 1\times 10^{-5}\times 5{,}294117647 = 5{,}294117647\times 10^{-5}\\ \mathrm{\frac{g}{m^2\cdot s}}.Arredondando razoavelmente: J \approx 5{,}29\times 10^{-5}\\ \mathrm{\frac{g}{m^2\cdot s}}.
  • Agora a taxa mássica total que sai pela área da superfície do tanque: preciso da área A onde ocorre a transferência. Como o tanque tem seção circular de diâmetro 30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}, o raio é r=0{,}15\\ \mathrm{m}. A área da seção (plano da interface) é A = \pi r^2 = \pi(0{,}15)^2\\ \mathrm{m}^2.Calculo: A = \pi\times 0{,}0225 \approx 0{,}070685\\ \mathrm{m}^2.
  • A taxa mássica total \dot{m} (em \mathrm{g}/\mathrm{s}) é \dot{m} = J\cdot A: \dot{m} \approx 5{,}294117647\times 10^{-5}\times 0{,}070685\\ \mathrm{\frac{g}{s}}.Multiplicando: \dot{m} \approx 3{,}74\times 10^{-6}\\ \mathrm{g}/\mathrm{s}.Em unidades SI de massa (kg/s): \dot{m} \approx 3{,}74\times 10^{-9}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.

Passo 8

Resumo das equações finais e validade (item b) e checagem das hipóteses:
  • Perfil de concentração encontrado: c(x) = 4{,}5\left(1 - \frac{x}{\delta}\right),\qquad 0\le x\le \delta.
  • Faixa de validade/hipóteses (o que precisa ser verdadeiro para usar essa solução):
    • Regime estacionário (perfil não varia com o tempo).
    • Transporte por difusão molecular unidimensional predominante (gás estagnado, negligência de convecção).
    • Difusividade D constante (válido se a composição e temperatura não variarem muito na película).
    • Baixa concentração de A (mistura diluída), de modo que propriedades físicas e D são razoavelmente constantes.
    • Condição limite c(\delta)=0 é que o reservatório além da película tem concentração desprezível (dado pelo enunciado).
      Se alguma dessas hipóteses falhar (por exemplo houver escoamento do gás, reação, variação forte de D ou concentração finita além de \delta), a expressão linear e o cálculo do fluxo precisam ser revistos.

Passo 9

Últimas observações rápidas de amigo (foco em prova):
  • No exame, descreva claramente o eixo e as CCs, escreva Fick e continuidade, diga por que J é constante e integre; aplique CCs e calcule J. Não esqueça de converter unidades com cuidado (cm^2/s para m^2/s foi crucial). Vai dar certo — respira e segue o fluxo passo a passo.

Resposta

(a) \dot{m}\approx 3{,}74\times 10^{-6}\\ \mathrm{g}/\mathrm{s} (equivalente a 3{,}74\times 10^{-9}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}).\n(b) c(x)=4{,}5\left(1-\dfrac{x}{\delta}\right), válida para 0\le x\le \delta sob as hipóteses: regime estacionário, gás estagnado (sem convecção), D constante e mistura diluída.

Exercícios relacionados