Considere uma placa de urânio com espessura \mathrm{L}=10 \mathrm{~cm} e condutividade térmica \mathrm{k}=28 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}, na qual o calor é gerado uniformemente a uma taxa constante de \mathrm{q}=50.000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. Um lado da placa é mantido a 0{ }^{\circ} \mathrm{C} por água gelada, enquanto o outro lado é submetido à convecção para um ambiente a \mathrm{T}=30^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferência de calor de \mathrm{h}=45 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Considerando um total de quatro nós igualmente espaçados no meio, dois nas bordas e dois no meio, determine:
a) Estime as temperaturas dos nós da placa em condições estáveis usando a abordagem das diferenças finitas.
b) Estime a temperatura dos nós da placa da placa em condições estáveis e sem geração de calor usando a abordagem das diferenças finitas.
c) Estime a temperatura dos nós da placa da placa considerando um total de seis nós igualmente espaçados em condições estáveis e com geração de calor.

Passo 1

O enunciado trata da condução de calor unidimensional e em regime permanente numa placa de urânio de espessura \mathrm{L}=0{,}10\\ \mathrm{m}, condutividade térmica k=28\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)} e geração volumétrica uniforme q=5{,}0\times10^4\\ \mathrm{W/m^3}. Em x=0 a temperatura é mantida em 0\,^\circ\mathrm{C} (condição de Dirichlet) e em x=L temos convecção com ambiente a T_\infty=30\,^\circ\mathrm{C}, coeficiente h=45\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}. Vamos usar o método das diferenças finitas, discretizando o eixo x em nós igualmente espaçados e montando o sistema de equações: para nós internos
-\,k\frac{T_{i+1}-2T_i+T_{i-1}}{\Delta x^2} + q = 0
e na fronteira convectiva
-\,k\frac{T_N - T_{N-1}}{\Delta x} = h\bigl(T_N - T_\infty\bigr).

Passo 2

(a) Quatro nós i=0,1,2,3, com \Delta x = L/3 = 0{,}03333\\ \mathrm{m}. O nó i=0 tem T_0=0\,^\circ\mathrm{C}. Para i=1,2 escrevemos
T_{i-1} - 2T_i + T_{i+1} = -\,\frac{q\,\Delta x^2}{k},
onde
\frac{q\,\Delta x^2}{k} = \frac{5\times10^4\,(0{,}03333)^2}{28} \approx 1{,}9848.
Na fronteira i=3 a condição convectiva dá
-\,k\frac{T_3 - T_2}{\Delta x} = h(T_3 - 30) \;\Longrightarrow\; (28 + h\,\Delta x)\,T_3 - 28\,T_2 = h\,\Delta x\cdot30,
com h\,\Delta x =45\cdot0{,}03333 =1{,}5.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} -2T_1 + T_2 = -1{,}9848,\\\ T_1 -2T_2 + T_3 = -1{,}9848,\\\\ 29{,}5\,T_3 - 28\,T_2 = 45, \end{cases}
obtemos
T_1\approx 5{,}08\,^\circ\mathrm{C},\quad T_2\approx 8{,}17\,^\circ\mathrm{C},\quad T_3\approx 9{,}28\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

(b) Mesma malha de 4 nós mas com q=0. As equações internas ficam
-2T_1 + T_2 = 0, \quad T_1 -2T_2 + T_3 = 0,
e a fronteira convectiva continua igual. Resolvendos, achamos
T_1\approx 1{,}385\,^\circ\mathrm{C},\quad T_2\approx 2{,}769\,^\circ\mathrm{C},\quad T_3\approx 4{,}154\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

(c) Seis nós i=0,\dots,5, com \Delta x = L/5 =0{,}02\\ \mathrm{m}. As equações para i=1,2,3,4 são
T_{i-1} -2T_i + T_{i+1} = -\,\frac{q\,\Delta x^2}{k},
onde
\frac{q\,\Delta x^2}{k} = \frac{5\times10^4\,(0{,}02)^2}{28} \approx 0{,}71429.
Na fronteira i=5:
-\,k\frac{T_5 - T_4}{\Delta x} = h(T_5 - 30) \;\Longrightarrow\; -1400\,T_4 +1445\,T_5 = 1350.
Isso gera um sistema de 5 equações lineares, que resolvemos por eliminação de Gauss.

Passo 6

Solucionando numericamente obtemos para os nós i=1 a 5:
T_1\approx 3{,}49\,^\circ\mathrm{C},\quad T_2\approx 6{,}27\,^\circ\mathrm{C},\quad T_3\approx 8{,}33\,^\circ\mathrm{C},\quad T_4\approx 9{,}67\,^\circ\mathrm{C},\quad T_5\approx 10{,}31\,^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) T_1\approx5{,}08\,^\circ\mathrm{C},\;T_2\approx8{,}17\,^\circ\mathrm{C},\;T_3\approx9{,}28\,^\circ\mathrm{C}.
(b) T_1\approx1{,}385\,^\circ\mathrm{C},\;T_2\approx2{,}769\,^\circ\mathrm{C},\;T_3\approx4{,}154\,^\circ\mathrm{C}.
(c) T_1\approx3{,}49\,^\circ\mathrm{C},\;T_2\approx6{,}27\,^\circ\mathrm{C},\;T_3\approx8{,}33\,^\circ\mathrm{C},\;T_4\approx9{,}67\,^\circ\mathrm{C},\;T_5\approx10{,}31\,^\circ\mathrm{C}.

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