Considere uma placa de urânio com espessura de 6 cm e condutividade térmica \mathrm{k}=28 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}, na qual o calor é gerado uniformemente a uma taxa constante de \mathrm{q}=6.10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}. Um é submetido à convecção a 60^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferência de calor \mathrm{h}=90 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, enquanto o outro lado é submetido à convecção para um ambiente a 30^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferência de calor \mathrm{h}=60 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. Considerando oito nós igualmente espaçados com um espaçamento nodal de 1 cm , determine as temperaturas nodais em condições estáveis usando a abordagem das diferenças finitas.

Passo 1

O problema é condução unidimensional em regime permanente numa placa de espessura L=6\\ \mathrm{cm} com geração volumétrica de calor uniforme q=6\times10^5\\ \mathrm{W/m}^3 e condutividade térmica k=28\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}. As faces x=0 e x=L estão submetidas à convecção para ambientes a T_{\infty1}=60^\circ C (coeficiente h_1=90\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}) e T_{\infty2}=30^\circ C (coeficiente h_2=60\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}), respectivamente. Vamos usar diferenças finitas com 8 nós igualmente espaçados \Delta x=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m} para obter um sistema linear para as temperaturas nodais T_1,\dots,T_8.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial de condução com geração em regime permanente
\frac{d^2T}{dx^2} + \frac{q}{k} = 0,
e aproximamos a segunda derivada por diferenças finitas centrais: para i=2,\dots,7,
\frac{T_{i-1}-2T_i+T_{i+1}}{\Delta x^2} + \frac{q}{k} = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; T_{i-1} - 2T_i + T_{i+1} = -\frac{q\,(\Delta x)^2}{k}.
Definimos o termo fonte
S = \frac{q\,(\Delta x)^2}{k} = \frac{6\times10^5\cdot(0,01)^2}{28}\approx 2{,}142857.

Passo 3

Agora as condições de contorno convectivas viram equações do tipo a_1T_1 + c_1T_2 = d_1 em x=0 e a_8T_7 + b_8T_8 = d_8 em x=L.
Para x=0:
-k\frac{T_2 - T_1}{\Delta x} = h_1\,(T_1 - T_{\infty1}) \;\Longrightarrow\; (k + h_1\,\Delta x)\,T_1 - k\,T_2 = h_1\,\Delta x\,T_{\infty1}.
Numericamente, k + h_1\Delta x = 28 + 90\cdot0{,}01 = 28{,}9 e h_1\Delta x\,T_{\infty1} = 0{,}9\cdot60 = 54.

Passo 4

Para x=L:
-\,k\frac{T_8 - T_7}{\Delta x} = h_2\,(T_8 - T_{\infty2}) \;\Longrightarrow\; -\,k\,T_7 + (\,k + h_2\,\Delta x)\,T_8 = h_2\,\Delta x\,T_{\infty2}.
Numericamente, k + h_2\Delta x = 28 + 60\cdot0{,}01 = 28{,}6 e h_2\Delta x\,T_{\infty2} = 0{,}6\cdot30 = 18.

Passo 5

Montamos o sistema tridiagonal A\,\mathbf{T}=\mathbf{d} em que, para i=1,\dots,8,
  • i=1: 0\cdot T_0 + 28{,}9\,T_1 -28\,T_2 = 54.
  • i=2,\dots,7: T_{i-1} -2\,T_i + T_{i+1} = -2{,}142857.
  • i=8: -28\,T_7 +28{,}6\,T_8 +0\cdot T_9 = 18.
Em forma de coeficientes a_iT_{i-1}+b_iT_i+c_iT_{i+1}=d_i, temos
\begin{cases} a_1=0,\;b_1=28{,}9,\;c_1=-28,\;d_1=54,\\\ a_i=1,\;b_i=-2,\;c_i=1,\;d_i=-2{,}142857\quad(i=2\ldots7),\\\ a_8=-28,\;b_8=28{,}6,\;c_8=0,\;d_8=18. \end{cases}

Passo 6

Resolvemos o sistema por eliminação de Thomas (método das diferenças finitas para malha uniforme). O cálculo rápido (usando programa ou calculadora) dá as temperaturas nodais:

Resposta

T_1 \approx 287{,}9\\ ^\circ\mathrm C T_2 \approx 295{,}0\\ ^\circ\mathrm C T_3 \approx 300{,}2\\ ^\circ\mathrm C T_4 \approx 302{,}8\\ ^\circ\mathrm C T_5 \approx 303{,}5\\ ^\circ\mathrm C T_6 \approx 302{,}1\\ ^\circ\mathrm C T_7 \approx 298{,}7\\ ^\circ\mathrm C T_8 \approx 293{,}0\\ ^\circ\mathrm C

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