A força de arraste que atua numa partícula esférica em movimento num fluido é dada por:
F=\frac{C_{D} \pi R^{2} \rho_{L} v^{2}}{2}
Em que:
C_{D}= Coeficiente de arraste;
R= Raio da partícula;
v= Velocidade da partícula;
\rho_{L}= Massa específica do fluido;
(a) Qual a dimensão do fator C_{D} ?
(b) Para certas condições de escoamento, C_{D} depende do \mathrm{n}^{\circ} de Reynolds, expresso da seguinte forma: C_{D}=\frac{24}{R e}
Calcule a força em lbf que age sobre a partícula, quando:
R=0,8 \mathrm{~mm}, \rho_{L}=58 \frac{l b}{f^{3}}, v=8,4 \frac{\mathrm{~cm}}{\mathrm{~min}}, \mathrm{e} \mu=13,6 \cdot 10^{-4} \frac{\mathrm{lb}}{f t . s}
Considere:
R e=\frac{\rho v 2 R}{\mu}

Passo 1

O enunciado dá a força de arraste atuando numa partícula esférica em movimento num fluido como
F = \frac{C_{D}\,\pi R^{2}\,\rho_{L}\,v^{2}}{2}
onde C_{D} é o coeficiente de arraste, R o raio da partícula, v a velocidade e \rho_{L} a massa específica do fluido.
(a) Pede-se a dimensão de C_{D}.
(b) Sabendo que, para certo regime de escoamento,
C_{D} = \frac{24}{Re}
com
Re = \frac{\rho_{L}\,v\,(2R)}{\mu},
calcular F em lbf para
R = 0{,}8\text{ mm},\quad \rho_{L} = 58\\ \frac{\text{lb}}{\text{ft}^3},\quad v = 8{,}4\\ \frac{\text{cm}}{\min},\quad \mu = 13{,}6\times10^{-4}\\ \frac{\text{lb}}{\text{ft}\cdot\text{s}}.

Passo 2

Para descobrir a dimensão de C_{D}, isolamos C_{D} na expressão de F:
C_{D} = \frac{2F}{\pi\,R^{2}\,\rho_{L}\,v^{2}}.
Como F tem dimensão de força, \rho_{L} de massa/volume, R^{2} de compriment o^{2} e v^{2} de compriment o^{2}/temp o^{2}, todos os fatores de dimensão se cancelam, restando
[C_{D}] = 1,
ou seja, C_{D} é adimensional.

Passo 3

Convertendo as unidades para o sistema usado em \rho_{L} e \mu (ft, s):
R = 0{,}8\text{ mm} = 0{,}0008\text{ m}\times\frac{3{,}28084\\ \text{ft}}{1\\ \text{m}} = 0{,}002624\\ \text{ft},
v = 8{,}4\\ \frac{\text{cm}}{\min} = 0{,}084\\ \frac{\text{m}}{\min}\times\frac{3{,}28084\\ \text{ft}}{1\\ \text{m}}\times\frac{1\\ \min}{60\\ \text{s}} = 0{,}00459\\ \frac{\text{ft}}{\text{s}}.

Passo 4

Calculando o número de Reynolds:
Re = \frac{\rho_{L}\,v\,(2R)}{\mu} = \frac{58\\ \frac{\text{lb}}{\text{ft}^3}\times0{,}00459\\ \frac{\text{ft}}{\text{s}}\times2\times0{,}002624\\ \text{ft}} {13{,}6\times10^{-4}\\ \frac{\text{lb}}{\text{ft}\cdot\text{s}}} \approx 1{,}03.

Passo 5

Para esse Re, o coeficiente de arraste vale
C_{D} = \frac{24}{Re} \approx \frac{24}{1{,}03} \approx 23{,}3.

Passo 6

Finalmente, substituímos na fórmula de F:
F = \frac{C_{D}\,\pi\,R^{2}\,\rho_{L}\,v^{2}}{2} = \frac{23{,}3\times\pi\times(0{,}002624)^2\times58\times(0{,}00459)^2}{2} \approx 3{,}09\times10^{-7}\\ \text{lbf}.

Resposta

(a) C_{D} é adimensional.
(b) F \approx 3{,}09\times10^{-7}\\ \text{lbf}.

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