Considere um planeta artificial de densidade homogènea cuja aceleração da gravidade na superficie é
. Um túnel é construído em seu interior de tal forma que é possivel atravessá-lo em 2 minutos.
a) Calcule o diâmetro do planeta.
b) Qual é a massa do planeta?
c) Este “planeta” poderia existir? Compare a sua densidade média com a da Terra e corn uma estrela de nêutrons.
Dados: diâmetro de uma estrela de nêutrons:
. Massa aproximadamente 1,4 massas solares.
a) Calcule o diâmetro do planeta.
b) Qual é a massa do planeta?
c) Este “planeta” poderia existir? Compare a sua densidade média com a da Terra e corn uma estrela de nêutrons.
Dados: diâmetro de uma estrela de nêutrons:
Passo 1
O enunciado trata de um planeta homogêneo em que a gravidade na superfície vale
. Um túnel diametral permite atravessá-lo em
min. O conteúdo é o movimento harmônico simples de partículas dentro de uma esfera uniforme. Precisaremos da relação entre o período de oscilação e os parâmetros
e
.
Passo 2
Dentro de uma esfera de massa total
e raio
, a massa contida em raio
é
de modo que a aceleração gravitacional em
é
onde
Como
, segue
O período de oscilação completo é
Passo 3
O tempo
para ir de um lado ao outro do túnel é metade do período, isto é
Logo
Passo 4
Substituindo
e
,
Assim, o diâmetro é
Passo 5
Da relação
, temos
Passo 6
A densidade média vale
Comparando:
– Terra: .
– Estrela de nêutrons: .
Este “planeta” teria densidade ~ vezes a da Terra, mas muito abaixo da de uma estrela de nêutrons. Num corpo de diâmetro ~
km, tal densidade só ocorreria sob pressões extremas (próximas a objetos compactos), logo não pode existir de modo estável.
– Terra:
– Estrela de nêutrons:
Este “planeta” teria densidade ~
Resposta
(a)
(b)
(c) A densidade média , ~
a da Terra e muito menor que a de uma estrela de nêutrons; portanto, um planeta assim não existe de modo estável fora de condições extremas.
(b)
(c) A densidade média