Considere um planeta artificial de densidade homogènea cuja aceleração da gravidade na superficie é a_{s}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Um túnel é construído em seu interior de tal forma que é possivel atravessá-lo em 2 minutos.
a) Calcule o diâmetro do planeta.
b) Qual é a massa do planeta?
c) Este “planeta” poderia existir? Compare a sua densidade média com a da Terra e corn uma estrela de nêutrons.
Dados: diâmetro de uma estrela de nêutrons: 10-30 \mathrm{~km}. Massa aproximadamente 1,4 massas solares.

Passo 1

O enunciado trata de um planeta homogêneo em que a gravidade na superfície vale a_{s}=9{,}8\,\mathrm{m/s^{2}}. Um túnel diametral permite atravessá-lo em 2 min. O conteúdo é o movimento harmônico simples de partículas dentro de uma esfera uniforme. Precisaremos da relação entre o período de oscilação e os parâmetros R e g.

Passo 2

Dentro de uma esfera de massa total M e raio R, a massa contida em raio r é
M_r = M\Bigl(\frac{r}{R}\Bigr)^3,
de modo que a aceleração gravitacional em r é
a(r) = -\frac{G\,M_r}{r^2} = -\frac{G\,M}{R^3}\,r = -\omega^2\,r,
onde
\omega = \sqrt{\frac{G\,M}{R^3}}.
Como g = G\,M/R^2, segue
\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}.
O período de oscilação completo é
T = \frac{2\pi}{\omega} =2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}.

Passo 3

O tempo t para ir de um lado ao outro do túnel é metade do período, isto é
\frac{T}{2} = t = 2\\ \mathrm{min} = 120\\ \mathrm{s}.
Logo
2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} = 2\,t \quad\Longrightarrow\quad \pi\sqrt{\frac{R}{g}} = t \quad\Longrightarrow\quad R = g\Bigl(\frac{t}{\pi}\Bigr)^{2}.

Passo 4

Substituindo g=9{,}8\,\mathrm{m/s^{2}} e t=120\,\mathrm{s},
R = 9{,}8\Bigl(\frac{120}{\pi}\Bigr)^{2} \approx1{,}43\times10^{5}\,\mathrm{m}.
Assim, o diâmetro é
D = 2R \approx 2{,}86\times10^{5}\,\mathrm{m} =286\,\mathrm{km}.

Passo 5

Da relação g = G\,M/R^2, temos
M = \frac{g\,R^{2}}{G} = \frac{9{,}8\,(1{,}43\times10^{5})^{2}}{6{,}67\times10^{-11}} \approx3{,}0\times10^{21}\,\mathrm{kg}.

Passo 6

A densidade média vale
\rho = \frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}} \approx\frac{3{,}0\times10^{21}}{\tfrac{4}{3}\pi\,(1{,}43\times10^{5})^{3}} \approx2{,}4\times10^{5}\,\mathrm{kg/m^3}.
Comparando:
– Terra: \rho_\oplus\approx5{,}5\times10^{3}\,\mathrm{kg/m^3}.
– Estrela de nêutrons: \rho_\mathrm{NS}\sim10^{17\text{–}18}\,\mathrm{kg/m^3}.
Este “planeta” teria densidade ~ 44 vezes a da Terra, mas muito abaixo da de uma estrela de nêutrons. Num corpo de diâmetro ~ 300 km, tal densidade só ocorreria sob pressões extremas (próximas a objetos compactos), logo não pode existir de modo estável.

Resposta

(a) D\approx2,86\times10^{5}\,\mathrm{m}=286\,\mathrm{km}.
(b) M\approx3,0\times10^{21}\,\mathrm{kg}.
(c) A densidade média \rho\approx2,4\times10^{5}\,\mathrm{kg/m^3}, ~ 44\times a da Terra e muito menor que a de uma estrela de nêutrons; portanto, um planeta assim não existe de modo estável fora de condições extremas.

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