Um estudante de Engenharia Civil mediu a força de atrito em uma massa ( m= 3,0 \mathrm{~kg} ) que oscilava em uma mola, de constante elástica k=18,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e encontrou a seguinte expressão: F=-6 v, onde v(t) é a velocidade da massa em um instante t. Faça o que se pede:
a) Escreva a equação de movimento do sistema.
b) Qual é a frequência de oscilação do sistema?

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa–mola com amortecimento viscoso. A massa é m=3{,}0,kg, a constante elástica é k=18{,}0,N/m e a força de atrito é proporcional à velocidade, F_{\rm atrito}=-6\,v. Para resolver precisamos escrever a equação de movimento aplicando a Segunda Lei de Newton e, em seguida, identificar o regime subamortecido para achar a frequência de oscilação.

Passo 2

Pela Segunda Lei de Newton temos
m\,\ddot x = \sum F = -\,k\,x + F_{\rm atrito} = -\,k\,x - c\,\dot x,
onde c=6, N\cdot s/m. Passando tudo para um lado,
m\,\ddot x + c\,\dot x + k\,x = 0.
Substituindo m=3{,}0, c=6 e k=18 obtemos
3{,}0\,\ddot x + 6\,\dot x + 18\,x = 0.

Passo 3

A frequência de oscilação amortecida f vem de primeiro calcular a frequência angular amortecida \omega_d. Primeiro a frequência natural não amortecida é
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{18{,}0}{3{,}0}} = \sqrt{6{,}0}.
O coeficiente de amortecimento por unidade de massa é
\frac{c}{2m} = \frac{6}{2\cdot3{,}0} = 1{,}0\\ (\text{s}^{-1}).
Como \frac{c}{2m}<\omega_0, o regime é subamortecido e
\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \Bigl(\tfrac{c}{2m}\Bigr)^2} = \sqrt{6{,}0 - 1{,}0^2} = \sqrt{5{,}0}\\ \text{rad/s}.
A frequência de oscilação em hertz é
f = \frac{\omega_d}{2\pi} = \frac{\sqrt{5{,}0}}{2\pi}\approx0{,}356\\ \text{Hz}.

Resposta

(a) A equação de movimento é
3{,}0\,\ddot x + 6\,\dot x + 18\,x = 0.
(b) A frequência de oscilação do sistema é
f = \frac{\sqrt{5{,}0}}{2\pi}\approx0{,}356\\ \text{Hz}.

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