Considere um planeta de raio R e massa M. Sabendo que a constante de gravitação universal é dada por G, desprezando a resistência do ar e a rotação do planeta em torno de seu próprio eixo, responda aos itens abaixo:
Considere, nesse item, que o projétil esteja em uma órbita circular em torno do planeta dado. Mostre que a energia potencial gravitacional U desse projetil é o dobro de sua energia mecânica total E.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. A gente tem um planeta com raio R e massa M, e um projétil que tá orbitando esse planeta de forma circular. A missão aqui é mostrar que a energia potencial gravitacional U do projétil é o dobro da sua energia mecânica total E. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial gravitacional, energia cinética e a condição de órbita circular, tudo dentro da física newtoniana.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia potencial gravitacional. A fórmula é:
U = -G M mr
onde:
- G é a constante de gravitação universal,
- M é a massa do planeta,
- m é a massa do projétil,
- r é a distância entre os centros do planeta e do projétil.
A energia potencial aqui é negativa porque estamos considerando que o trabalho para trazer o projétil do infinito até a distância r requer energia.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética K do projétil na órbita circular. Sabemos que para uma órbita circular estável, a força centrípeta necessária para manter o projétil na órbita é fornecida pela força gravitacional. Então:
m v^2r = G M mr^2
Podemos simplificar removendo m e multiplicando ambos os lados por r:
v^2 = G Mr
A energia cinética é então:
K = 12 m v^2 = 12 m ( G Mr ) = G M m2 r

Passo 4

A energia mecânica total E é a soma da energia cinética K e da energia potencial U:
E = K + U
Substituindo os valores que encontramos:
E = G M m2 r - G M mr
E = -G M m2 r

Passo 5

Agora, vamos comparar a energia potencial U com a energia mecânica total E:
U = -G M mr
E = -G M m2 r
Perceba que U é exatamente o dobro de E:
U = 2 E

Resposta

A energia potencial gravitacional U do projétil é o dobro da sua energia mecânica total E, ou seja, U = 2 E.

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