Considere um planeta de raio
e massa
. Sabendo que a constante de gravitação universal é dada por
, desprezando a resistência do ar e a rotação do planeta em torno de seu próprio eixo, responda aos itens abaixo:
Considere, nesse item, que o projétil esteja em uma órbita circular em torno do planeta dado. Mostre que a energia potencial gravitacional
desse projetil é o dobro de sua energia mecânica total
.
Considere, nesse item, que o projétil esteja em uma órbita circular em torno do planeta dado. Mostre que a energia potencial gravitacional
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. A gente tem um planeta com raio
e massa
, e um projétil que tá orbitando esse planeta de forma circular. A missão aqui é mostrar que a energia potencial gravitacional
do projétil é o dobro da sua energia mecânica total
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial gravitacional, energia cinética e a condição de órbita circular, tudo dentro da física newtoniana.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia potencial gravitacional. A fórmula é:
onde:
-
-
-
-
A energia potencial aqui é negativa porque estamos considerando que o trabalho para trazer o projétil do infinito até a distância
requer energia.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética
do projétil na órbita circular. Sabemos que para uma órbita circular estável, a força centrípeta necessária para manter o projétil na órbita é fornecida pela força gravitacional. Então:
Podemos simplificar removendo
A energia cinética é então:
Passo 4
A energia mecânica total
é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos comparar a energia potencial
com a energia mecânica total
:
Perceba que
Resposta
A energia potencial gravitacional
do projétil é o dobro da sua energia mecânica total
, ou seja,
.