Considere um planeta de raio R e massa M. Sabendo que a constante de gravitação universal é dada por G, desprezando a resistência do ar e a rotação do planeta em torno de seu próprio eixo, responda aos itens abaixo:
Se um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da superfície do planeta, com velocidade inicial igual à metade da velocidade de escape deste planeta, calcule distância radial r que o projétil atingirá, com relação ao centro do planeta. Expresse sua resposta apenas em função de R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre lançar um projétil para cima de um planeta com raio $ R $ e massa $ M $. A velocidade inicial do projétil é metade da velocidade de escape desse planeta. A gente precisa calcular até que distância radial $ r $ (medida a partir do centro do planeta) o projétil vai atingir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como velocidade de escape e conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a velocidade de escape. É a velocidade mínima que um objeto precisa para escapar totalmente da atração gravitacional de um planeta sem mais propulsão. A fórmula da velocidade de escape ($ v_{esc} $) é:
vesc
onde $ G $ é a constante gravitacional, $ M $ é a massa do planeta e $ R $ é o raio do planeta.

Passo 3

A velocidade inicial do projétil é metade da velocidade de escape. Então, a velocidade inicial ($ v_i $) é:
vi

Passo 4

Vamos usar a conservação da energia para resolver o problema. A energia total no ponto de lançamento será igual à energia total no ponto mais alto da trajetória. A energia total é a soma da energia cinética ($ E_c Ec E_p $).
No ponto de lançamento:
Ep
No ponto mais alto:
Einicial = Ec + Ep = 12 m vi^2 - G M mR
(A energia cinética é zero no ponto mais alto porque a velocidade é zero ali.)

Passo 5

Igualando as energias inicial e final:
12 m vi^2 - G M mR = - G M mr
Podemos cancelar a massa $ m $ de todos os termos:
m

Passo 6

Substituímos $ v_i^2 $ pela expressão que encontramos no Passo 3:
vi^2
Simplificando:
12 ( G M2 R ) - G MR = - G Mr

Passo 7

Fazendo as contas:
G M4 R - 4 G M4 R = - G Mr
- 3 G M4 R = - G Mr
Cancelando $ - G M $ dos dois lados:
- G M
Invertendo os dois lados para encontrar $ r $:
34 R = 1r

Resposta

A distância radial que o projétil atingirá é $ r = \frac{4}{3} R $.

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