Considere um planeta de raio
e massa
. Sabendo que a constante de gravitação universal é dada por
, desprezando a resistência do ar e a rotação do planeta em torno de seu próprio eixo, responda aos itens abaixo:
Se um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da superfície do planeta, com velocidade inicial igual à metade da velocidade de escape deste planeta, calcule distância radial
que o projétil atingirá, com relação ao centro do planeta. Expresse sua resposta apenas em função de
.
Se um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da superfície do planeta, com velocidade inicial igual à metade da velocidade de escape deste planeta, calcule distância radial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre lançar um projétil para cima de um planeta com raio $ R $ e massa $ M $. A velocidade inicial do projétil é metade da velocidade de escape desse planeta. A gente precisa calcular até que distância radial $ r $ (medida a partir do centro do planeta) o projétil vai atingir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como velocidade de escape e conservação da energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a velocidade de escape. É a velocidade mínima que um objeto precisa para escapar totalmente da atração gravitacional de um planeta sem mais propulsão. A fórmula da velocidade de escape ($ v_{esc} $) é:
onde $ G $ é a constante gravitacional, $ M $ é a massa do planeta e $ R $ é o raio do planeta.
Passo 3
A velocidade inicial do projétil é metade da velocidade de escape. Então, a velocidade inicial ($ v_i $) é:
Passo 4
Vamos usar a conservação da energia para resolver o problema. A energia total no ponto de lançamento será igual à energia total no ponto mais alto da trajetória. A energia total é a soma da energia cinética ($ E_c
E_p $).
No ponto de lançamento:
No ponto mais alto:
(A energia cinética é zero no ponto mais alto porque a velocidade é zero ali.)
Passo 5
Igualando as energias inicial e final:
Podemos cancelar a massa $ m $ de todos os termos:
Passo 6
Substituímos $ v_i^2 $ pela expressão que encontramos no Passo 3:
Simplificando:
Passo 7
Fazendo as contas:
Cancelando $ - G M $ dos dois lados:
Invertendo os dois lados para encontrar $ r $:
Resposta
A distância radial que o projétil atingirá é $ r = \frac{4}{3} R $.