Considere o plano \pi definido pela equação cartesiana \mathrm{z}=3 \mathrm{x}-5 \mathrm{y}+3.
(a) Qual o ponto deste plano que tem todas as coordenadas iguais?
(b) Calcule a distância do ponto encontrado no item anterior à reta r, que passa pelo ponto (-3,-2,0) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(1,1,3).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece os seguintes dados.
Pedidos:
(a) Determinar o ponto do plano cuja coordenadas são todas iguais.
(b) Calcular a distância entre esse ponto e a reta r.
Dados do enunciado:
Plano \pi com equação cartesiana \mathrm{z}=3\mathrm{x}-5\mathrm{y}+3.
Reta r que passa pelo ponto A=(-3,-2,0) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(1,1,3).
Observação importante: no item (a) procura-se um ponto cujas coordenadas \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z} são todas iguais (ou seja, existe um escalar t tal que \mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}=t). No item (b) usaremos o ponto encontrado em (a) e a reta r dada.
Passo 2
Resolver o item (a): montar a equação para o número comum t.
Se \mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}=t, substitui-se isso na equação do plano. A equação do plano é
\mathrm{z}=3\mathrm{x}-5\mathrm{y}+3.
Substituindo \mathrm{x}=t, \mathrm{y}=t, \mathrm{z}=t obtemos a equação em t:
t = 3t - 5t + 3.
Passo 3
Resolver a equação obtida para t.
Calcule o lado direito:
3t-5t = -2t,
logo a equação fica
t = -2t + 3.
Levar os termos com t para um lado:
t + 2t = 3 \quad\Rightarrow\quad 3t = 3.
Portanto
t = 1.
Isto significa que o ponto do plano cujas coordenadas são todas iguais é
(1,1,1).
Passo 4
Preparar a solução do item (b): fórmula que vamos usar e por quê.
Seja P=(1,1,1) o ponto do item (a) e A=(-3,-2,0) um ponto da reta r (dado). Seja \mathbf{v}=(1,1,3) o vetor diretor de r (dado).
Fórmula da distância entre um ponto P e uma reta em \mathbb{R}^3: seja A um ponto qualquer da reta e \mathbf{v} o vetor diretor. A distância de P à reta é dada por
onde \times é o produto vetorial e \lVert\cdot\rVert é a norma euclidiana. Intuição curta: \left\lVert \overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\right\rVert é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AP} e \mathbf{v}; essa área é igual à base \lVert\mathbf{v}\rVert vezes a altura, e a altura é exatamente a distância do ponto à reta.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo (explico como calcular cada coisa).
Passo 5
Calcular o vetor \overrightarrow{AP}.
Por definição \overrightarrow{AP}=P-A. Com P=(1,1,1) e A=(-3,-2,0),