Considere o plano \pi definido pela equação cartesiana \mathrm{z}=3 \mathrm{x}-5 \mathrm{y}+3.
(a) Qual o ponto deste plano que tem todas as coordenadas iguais?
(b) Calcule a distância do ponto encontrado no item anterior à reta r, que passa pelo ponto (-3,-2,0) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(1,1,3).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece os seguintes dados.
  • Pedidos:
    1. (a) Determinar o ponto do plano cuja coordenadas são todas iguais.
    2. (b) Calcular a distância entre esse ponto e a reta r.
  • Dados do enunciado:
    • Plano \pi com equação cartesiana \mathrm{z}=3\mathrm{x}-5\mathrm{y}+3.
    • Reta r que passa pelo ponto A=(-3,-2,0) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(1,1,3).
  • Observação importante: no item (a) procura-se um ponto cujas coordenadas \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z} são todas iguais (ou seja, existe um escalar t tal que \mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}=t). No item (b) usaremos o ponto encontrado em (a) e a reta r dada.

Passo 2

Resolver o item (a): montar a equação para o número comum t.
Se \mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}=t, substitui-se isso na equação do plano. A equação do plano é
\mathrm{z}=3\mathrm{x}-5\mathrm{y}+3.
Substituindo \mathrm{x}=t, \mathrm{y}=t, \mathrm{z}=t obtemos a equação em t:
t = 3t - 5t + 3.

Passo 3

Resolver a equação obtida para t.
Calcule o lado direito:
3t-5t = -2t,
logo a equação fica
t = -2t + 3.
Levar os termos com t para um lado:
t + 2t = 3 \quad\Rightarrow\quad 3t = 3.
Portanto
t = 1.
Isto significa que o ponto do plano cujas coordenadas são todas iguais é
(1,1,1).

Passo 4

Preparar a solução do item (b): fórmula que vamos usar e por quê.
Seja P=(1,1,1) o ponto do item (a) e A=(-3,-2,0) um ponto da reta r (dado). Seja \mathbf{v}=(1,1,3) o vetor diretor de r (dado).
Fórmula da distância entre um ponto P e uma reta em \mathbb{R}^3: seja A um ponto qualquer da reta e \mathbf{v} o vetor diretor. A distância de P à reta é dada por
\mathrm{dist}(P,r)=\frac{\left\lVert \overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\right\rVert}{\lVert\mathbf{v}\rVert},
onde \times é o produto vetorial e \lVert\cdot\rVert é a norma euclidiana. Intuição curta: \left\lVert \overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\right\rVert é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AP} e \mathbf{v}; essa área é igual à base \lVert\mathbf{v}\rVert vezes a altura, e a altura é exatamente a distância do ponto à reta.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo (explico como calcular cada coisa).

Passo 5

Calcular o vetor \overrightarrow{AP}.
Por definição \overrightarrow{AP}=P-A. Com P=(1,1,1) e A=(-3,-2,0),
\overrightarrow{AP} = (1-(-3),\;1-(-2),\;1-0) = (4,\,3,\,1).

Passo 6

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}.
Escrevendo \overrightarrow{AP}=(4,3,1) e \mathbf{v}=(1,1,3), o produto vetorial é dado pelo determinante das componentes:
\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 4 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}.
Calcule cada componente (minores):
  • Componente \mathbf{i}: 3\cdot 3 - 1\cdot 1 = 9-1 = 8.
  • Componente \mathbf{j}: 4\cdot 3 - 1\cdot 1 = 12-1 = 11, mas lembrar que o sinal da componente \mathbf{j} vem com menos, então fica -11.
  • Componente \mathbf{k}: 4\cdot 1 - 3\cdot 1 = 4-3 = 1.
Portanto
\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v} = (8,\,-11,\,1).

Passo 7

Calcular as normas necessárias e a distância.
Norma do produto vetorial:
\left\lVert \overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\right\rVert = \sqrt{8^{2}+(-11)^{2}+1^{2}} = \sqrt{64+121+1} = \sqrt{186}.
Norma do vetor diretor \mathbf{v}:
\lVert\mathbf{v}\rVert = \sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}} = \sqrt{1+1+9} = \sqrt{11}.
Aplicando a fórmula da distância:
\mathrm{dist}(P,r) = \frac{\sqrt{186}}{\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{186}{11}}.
Se quiser uma aproximação numérica para intuir o valor,
\sqrt{\frac{186}{11}}\approx \sqrt{16{,}909\ldots}\approx 4{,}11.

Resposta

(1,1,1)\n \displaystyle \sqrt{\frac{186}{11}}

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