Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto em relação à variação de preço de venda, obteve a tabela:
PRECO (\underline{x}) 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110
DEMANDA (\underline{y}) 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208
a. Determine o coeficiente de correlação.
b. Estabeleça a equação da reta ajustada.
c. Estime Y para \mathrm{X}=60 e \mathrm{X}=120.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Determinar o coeficiente de correlação entre preço e demanda.
  • (b) Estabelecer a equação da reta ajustada (regressão linear simples de Y em função de X).
  • (c) Estimar Y para X=60 e X=120.
Dados fornecidos (pegos diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccccc} X\\ (\text{preço}) & 38 & 42 & 50 & 56 & 59 & 63 & 70 & 80 & 95 & 110\\hline Y\\ (\text{demanda}) & 350 & 325 & 297 & 270 & 256 & 246 & 238 & 223 & 215 & 208 \end{array}ç
Vamos trabalhar com esses dez pares (X_i,Y_i), i=1,\dots,10. A resolução começa computando somas e estatísticas básicas (médias, somas de quadrados e de produtos) que são necessárias para as fórmulas de correlação e regressão.

Passo 2

Calcular as somas necessárias (vou listar os valores e depois as somas, mostrando de onde vieram).
Cálculos individuais (produtos e quadrados) foram obtidos multiplicando e elevando cada par da tabela:
  • Produtos X_iY_i: 13300,\\\ 13650,\\\ 14850,\\\ 15120,\\\ 15104,\\\ 15498,\\\ 16660,\\\ 17840,\\\ 20425,\\\ 22880.
  • Quadrados X_i^2: 1444,\\\ 1764,\\\ 2500,\\\ 3136,\\\ 3481,\\\ 3969,\\\ 4900,\\\ 6400,\\\ 9025,\\\ 12100.
  • Quadrados Y_i^2: 122500,\\\ 105625,\\\ 88209,\\\ 72900,\\\ 65536,\\\ 60516,\\\ 56644,\\\ 49729,\\\ 46225,\\\ 43264.
Agora as somas (todas calculadas somando os termos acima):
\begin{aligned} n &= 10,\\\ \sum X &= 663,\\\ \sum Y &= 2628,\\\ \sum X^2 &= 48719,\\\ \sum Y^2 &= 711148,\\\ \sum XY &= 165327. \end{aligned}

Passo 3

Calcular as médias de X e Y:
\bar{X}=\frac{\sum X}{n}=\frac{663}{10}=66{,}3,\qquad \bar{Y}=\frac{\sum Y}{n}=\frac{2628}{10}=262{,}8.
Também definimos as quantidades auxiliares (usadas nas fórmulas):
\begin{aligned} S_{xx} &= \sum X^2 - \frac{(\sum X)^2}{n} =48719 - \frac{663^2}{10} =48719 - 43956{,}9 =4762{,}1,\\[4pt] S_{yy} &= \sum Y^2 - \frac{(\sum Y)^2}{n} =711148 - \frac{2628^2}{10} =711148 - 690638{,}4 =20509{,}6,\\[4pt] S_{xy} &= \sum XY - \frac{(\sum X)(\sum Y)}{n} =165327 - \frac{663\cdot2628}{10} =165327 - 174236{,}4 =-8909{,}4. \end{aligned}
Vou explicar o que são essas quantidades: S_{xx} é a soma dos quadrados centrados de X (medida da variabilidade de X), S_{yy} é a soma dos quadrados centrados de Y, e S_{xy} é a soma dos produtos centrados (uma medida da covariância não normalizada entre X e Y). Essas quantidades aparecem nas fórmulas da regressão e da correlação.]

Passo 4

Determinar a reta de regressão \hat{Y}=b_0 + b_1 X.
Fórmulas básicas (explicação curta):
  • O coeficiente angular b_1 é dado por
b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}.
Isso faz sentido porque relaciona a covariação entre X e Y ( S_{xy}) com a variabilidade de X ( S_{xx}): quanto maior a covariação relativa à variância de X, maior a inclinação.
  • O intercepto b_0 é dado por
b_0=\bar{Y}-b_1\bar{X},
garantindo que a reta passe pelo ponto médio (\bar{X},\bar{Y}).
Cálculo numérico:
b_1=\frac{-8909{,}4}{4762{,}1}\approx -1{,}8711,
b_0=\bar{Y}-b_1\bar{X}=262{,}8 - (-1{,}8711)\cdot66{,}3 \approx 262{,}8 +124{,}0539 \approx 386{,}8539.
Portanto a reta ajustada é aproximadamente
\hat{Y}=386{,}8539 - 1{,}8711\,X.

Passo 5

Determinar o coeficiente de correlação linear de Pearson r e interpretar.
Fórmula:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Interpretação rápida: r mede a intensidade e o sentido da relação linear entre X e Y. Valores próximos de \pm1 indicam relação linear forte; sinais negativos indicam relação decrescente.
Cálculo:
\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}=\sqrt{4762{,}1\cdot20509{,}6}\approx 9883{,}0\\ (\text{aprox.}),
r=\frac{-8909{,}4}{9883{,}0}\approx -0{,}9014.
Interpretação: \;r\approx -0{,}901 indica uma correlação linear forte e negativa entre preço e demanda — ou seja, conforme o preço aumenta, a demanda tende a diminuir de forma relativamente linear.

Passo 6

Estimativas pontuais usando a reta ajustada.
Usar \hat{Y}=b_0 + b_1 X com os valores calculados.
Para X=60:
\hat{Y}(60)=386{,}8539 - 1{,}8711\cdot60 =386{,}8539 -112{,}266 \approx 274{,}5879 \approx 274{,}59.
Para X=120:
\hat{Y}(120)=386{,}8539 - 1{,}8711\cdot120 =386{,}8539 -224{,}532 \approx 162{,}3219 \approx 162{,}32.
Observação didática: para interpretar essas estimativas, \hat{Y}(60) significa a demanda prevista quando o preço é \,60 (nas mesmas unidades do enunciado). A estimativa para X=120 é extrapolação (valor de X fora do intervalo central dos dados? aqui 110 é máximo na amostra, então 120 é ligeira extrapolação — tomar cuidado com extrapolações).

Passo 7

Resumo e comentários finais (motivação para a prova):
  • A derivação da reta e do coeficiente usa apenas somas simples \sum X,\\ \sum Y,\\ \sum X^2,\\ \sum Y^2,\\ \sum XY. Em prova, calcule essas somas com cuidado e depois aplique as fórmulas mostradas.
  • Sempre cheque o sinal de r: se a inclinação b_1 for negativa, espere r negativo; se b_1 for positiva, r positivo. A magnitude de r indica força linear.
  • Para prever em prova, use a reta encontrada e fique atento ao risco de extrapolação.

Resposta

(a) r\approx -0{,}9014
(b) \displaystyle \hat{Y}=386{,}8539 - 1{,}8711\,X
(c) \hat{Y}(60)\approx 274{,}59
\hat{Y}(120)\approx 162{,}32

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