Vamos trabalhar com esses dez pares (X_i,Y_i), i=1,\dots,10. A resolução começa computando somas e estatísticas básicas (médias, somas de quadrados e de produtos) que são necessárias para as fórmulas de correlação e regressão.
Passo 2
Calcular as somas necessárias (vou listar os valores e depois as somas, mostrando de onde vieram).
Cálculos individuais (produtos e quadrados) foram obtidos multiplicando e elevando cada par da tabela:
Vou explicar o que são essas quantidades: S_{xx} é a soma dos quadrados centrados de X (medida da variabilidade de X), S_{yy} é a soma dos quadrados centrados de Y, e S_{xy} é a soma dos produtos centrados (uma medida da covariância não normalizada entre X e Y). Essas quantidades aparecem nas fórmulas da regressão e da correlação.]
Passo 4
Determinar a reta de regressão \hat{Y}=b_0 + b_1 X.
Fórmulas básicas (explicação curta):
O coeficiente angular b_1 é dado por
b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}.
Isso faz sentido porque relaciona a covariação entre X e Y (S_{xy}) com a variabilidade de X (S_{xx}): quanto maior a covariação relativa à variância de X, maior a inclinação.
O intercepto b_0 é dado por
b_0=\bar{Y}-b_1\bar{X},
garantindo que a reta passe pelo ponto médio (\bar{X},\bar{Y}).
Determinar o coeficiente de correlação linear de Pearson r e interpretar.
Fórmula:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Interpretação rápida: r mede a intensidade e o sentido da relação linear entre X e Y. Valores próximos de \pm1 indicam relação linear forte; sinais negativos indicam relação decrescente.
Interpretação: \;r\approx -0{,}901 indica uma correlação linear forte e negativa entre preço e demanda — ou seja, conforme o preço aumenta, a demanda tende a diminuir de forma relativamente linear.
Passo 6
Estimativas pontuais usando a reta ajustada.
Usar \hat{Y}=b_0 + b_1 X com os valores calculados.
Observação didática: para interpretar essas estimativas, \hat{Y}(60) significa a demanda prevista quando o preço é \,60 (nas mesmas unidades do enunciado). A estimativa para X=120 é extrapolação (valor de X fora do intervalo central dos dados? aqui 110 é máximo na amostra, então 120 é ligeira extrapolação — tomar cuidado com extrapolações).
Passo 7
Resumo e comentários finais (motivação para a prova):
A derivação da reta e do coeficiente usa apenas somas simples \sum X,\\ \sum Y,\\ \sum X^2,\\ \sum Y^2,\\ \sum XY. Em prova, calcule essas somas com cuidado e depois aplique as fórmulas mostradas.
Sempre cheque o sinal de r: se a inclinação b_1 for negativa, espere r negativo; se b_1 for positiva, r positivo. A magnitude de r indica força linear.
Para prever em prova, use a reta encontrada e fique atento ao risco de extrapolação.