Considere o plano alpha de equação 2 x+y-z=4 e a reta r de equação (x, y, z)= (0,3,-4)+t(1,-1,2).
Determine o ponto P=r cap alpha.

Passo 1

O enunciado dá o plano alpha de equação
2x + y - z = 4
e a reta r dada por
(x,y,z) = (0,3,-4) + t,(1,-1,2)
Queremos o ponto P que pertence simultaneamente à reta e ao plano, ou seja, a interseção rcapalpha. Para isso, vamos parametrizar a reta e impor a equação do plano.

Passo 2

Os pontos de r são
x = 0 + t, y = 3 - t, z = -4 + 2t
Substituindo esses valores em 2x + y - z = 4, obtemos
2(0 + t) + (3 - t) -l(-4 + 2tr) = 4

Passo 3

Vamos simplificar a expressão:
2t + 3 - t + 4 - 2t = 4
(2t - t - 2t) + 7 = 4
- t + 7 = 4 Longrightarrow - t = -3 Longrightarrow t = 3

Passo 4

Com t=3, calculamos as coordenadas de P:
x = 3, y = 3 - 3 = 0, z = -4 + 2cdot3 = 2
Portanto,
P = (3,,0,,2)

Resposta

P = (3,0,2).

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