Verifique se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível P e determine uma matiz diagonal D tais que A= P cdot D cdot P^-1.
A=(ccc 4 & 0 & -2 2 & 2 & -2 1 & 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 4 & 0 & -2 2 & 2 & -2 1 & 0 & 1
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
A = P,D,P^-1
O conteúdo necessário são autovalores, autovetores e condicionamento para diagonalização (multiplicidades algébrica e geométrica).

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico det(A - lambda I). Escrevendo
A - lambda I = 4-lambda & 0 & -2 2 & 2-lambda & -2 1 & 0 & 1-lambda ,
temos
det(A-lambda I) = (4-lambda)l((2-lambda)(1-lambda)-(-2)cdot0r) +(-2)l(2cdot0 - (2-lambda)cdot1r)
Isso leva a
det(A-lambda I) = (4-lambda)(2-lambda)(1-lambda) + 2,(2-lambda) = (2-lambda)l(lambda^2 -5lambda +6r) = -( lambda-2)^2(lambda-3)
Portanto os autovalores são
lambda1 = 2(mu< alg 2), lambda2 = 3(mu< alg 1)

Passo 3

Para lambda=2 somamos as equações de (A-2I)x=0:
(A-2I)= 2 & 0 & -2 2 & 0 & -2 1 & 0 & -1 sim 1 & 0 & -1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
A única equação é x1 - x3 =0, logo x1 = x3 e x2 livre. A dimensão do espaço próprio é 2, igual à multiplicidade algébrica, satisfazendo a condição de diagonalização.

Passo 4

Escolhemos bases canônicas dos autovetores:
Para lambda=2, da condição x1=x3 e x2 livre, tomamos
v1 = 101, v2 = 010
Para lambda=3, resolvemos (A-3I)x=0:
(A-3I)= 1 & 0 & -2 2 & -1 & -2 1 & 0 & -2 sim 1 & 0 & -2 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 ,
que dá x1=2x3,;x2=2x3. Escolhemos x3=1, logo
v3 = 221

Passo 5

Formamos a matriz P cujas colunas são os autovetores v1,v2,v3 e a matriz diagonal D com os autovalores na ordem correspondente:
P = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 1 & 0 & 1 , D = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
Verifica-se facilmente que det P = -1neq0, logo P é invertível, e
A = P,D,P^-1

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha de P e D é
P = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 1 & 0 & 1 , D = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 ,
de modo que A = P,D,P^-1.

Exercícios relacionados