Verifique se cada uma das seguintes matrizes é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 4 & 0 & -2 2 & 2 & -2 1 & 0 & 1
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
A = P,D,P^-1
O conteúdo necessário são autovalores, autovetores e condicionamento para diagonalização (multiplicidades algébrica e geométrica).
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico det(A - lambda I). Escrevendo
A única equação é x1 - x3 =0, logo x1 = x3 e x2 livre. A dimensão do espaço próprio é 2, igual à multiplicidade algébrica, satisfazendo a condição de diagonalização.
Passo 4
Escolhemos bases canônicas dos autovetores:
Para lambda=2, da condição x1=x3 e x2 livre, tomamos