Verifique se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível P e determine uma matiz diagonal D tais que A= P cdot D cdot P^-1.
A=(ccc 2 & 0 & 1 0 & -4 & 6 0 & -3 & 5 )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 0 & 1 [6pt] 0 & -4 & 6 [6pt] 0 & -3 & 5
é diagonalizável. Para isso, vamos precisar calcular o polinômio característico de A, encontrar seus autovalores e as dimensões de cada autovetor–espaço. Se para cada autovalor a multiplicidade geométrica (dimensão do autovetor–espaço) coincidir com a multiplicidade algébrica, então A é diagonalizável.]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det 2-lambda & 0 & 1 [4pt] 0 & -4-lambda & 6 [4pt] 0 & -3 & 5-lambda
Expandindo pela primeira coluna, só o elemento (2-lambda) contribui:
det(A - lambda I) =(2-lambda)det!-4-lambda & 6 [3pt] -3 & 5-lambda
Então
det(A - lambda I) =(2-lambda)l[(-4-lambda)(5-lambda)-6cdot(-3)r]
Desenvolvendo o parceiro interno:
(-4-lambda)(5-lambda)+18 = (-20 -lambdacdot5 +4lambda +lambda^2)+18 = lambda^2 -lambda -2 = (lambda-2)(lambda+1)
Portanto
det(A-lambda I) =(2-lambda),(lambda-2),(lambda+1) =-(lambda-2)^2(lambda+1) ]

Passo 3

Dos fatores concluímos que os autovalores são
lambda=2(mu<iplicidade algébrica 2), lambda=-1(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Agora determinamos as multiplicidades geométricas:
. Para , resolvemos
Dessas equações vem e, em seguida, , ficando livre. Logo o espaço próprio tem dimensão .
. Para , a multiplicidade algébrica é , e sempre teremos dimensão geométrica (há pelo menos um autovetor).]

Passo 5

A soma das dimensões geométricas dos autovalores é
1;(lambda=2);+;1;(lambda=-1);=;2
que é menor que a ordem 3 da matriz. Assim a multiplicidade geométrica de lambda=2 (que é 1) é menor que a multiplicidade algébrica ( 2). Portanto A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável, pois para o autovalor lambda=2 a multiplicidade geométrica é 1 enquanto a algébrica é 2.

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