Verifique se cada uma das seguintes matrizes é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 0 & 1 [6pt] 0 & -4 & 6 [6pt] 0 & -3 & 5
é diagonalizável. Para isso, vamos precisar calcular o polinômio característico de A, encontrar seus autovalores e as dimensões de cada autovetor–espaço. Se para cada autovalor a multiplicidade geométrica (dimensão do autovetor–espaço) coincidir com a multiplicidade algébrica, então A é diagonalizável.]
Agora determinamos as multiplicidades geométricas:
. Para , resolvemos
Dessas equações vem e, em seguida, , ficando livre. Logo o espaço próprio tem dimensão .
. Para , a multiplicidade algébrica é , e sempre teremos dimensão geométrica (há pelo menos um autovetor).]
Passo 5
A soma das dimensões geométricas dos autovalores é
1;(lambda=2);+;1;(lambda=-1);=;2
que é menor que a ordem 3 da matriz. Assim a multiplicidade geométrica de lambda=2 (que é 1) é menor que a multiplicidade algébrica (2). Portanto Anão é diagonalizável.
Resposta
A matriz A não é diagonalizável, pois para o autovalor lambda=2 a multiplicidade geométrica é 1 enquanto a algébrica é 2.