Sejam o ponto
, e as retas
Encontre
e
de modo que
seja perpendicular à reta
r2 e
|A C|=raiz2 . Mostre também que os pontos
A, C e a reta
r2 não são coplanares.
Passo 1
O enunciado dá o ponto
e as retas
Pedem
a e um ponto
Cin r1 tais que
AC seja perpendicular a
r2 e
|AC|=raiz2 , e ainda mostrar que
A,C e
r2 não são coplanares. Vamos usar cálculo vetorial: produto escalar para perpendicularidade, norma para comprimento e produto misto para coplanaridade.
Passo 2
Seja
Então
A reta
r2 tem vetor diretor
Perpendicularidade exige
Isso simplifica para
Passo 3
Substituindo
s=a/2 em
AC obtemos
Impor
|AC|=raiz2 dá
As soluções são
1-tfraca2=pm1 . A escolha
1-tfraca2=1 leva a
a=0 (descartado), e
1-tfraca2=-1 leva a
Passo 4
Com
a=4 obtemos
s=2 e
cuja norma é
raiz0+1+1=raiz2 e é perpendicular a
d2 .
Passo 5
Para mostrar que
A,C e a reta
r2 não são coplanares, basta ver que o produto misto
é não nulo, onde
P é um ponto de
r2 , por exemplo
P=(1,2,2) em
t=0 . Calcula-se
Fazendo o produto vetorial e em seguida o escalar, obtém-se
-2neq0 . Logo não são coplanares.