Sejam o ponto A=(a, 2 a, a), a in R backslash0, e as retas
& r1=(2 s, 3 s+1, s+1) mid s in R & r2=(2 t+1, t+2,-t+2) mid t in R
Encontre a in R backslash0 e C in r1 de modo que A C seja perpendicular à reta r2 e |A C|=raiz2. Mostre também que os pontos A, C e a reta r2 não são coplanares.

Passo 1

O enunciado dá o ponto
A=(a,2a,a), aneq0,
e as retas
r1=(2s,3s+1,s+1)mid sinR, r2=(2t+1,t+2,-t+2)mid tinR
Pedem a e um ponto Cin r1 tais que AC seja perpendicular a r2 e |AC|=raiz2, e ainda mostrar que A,C e r2 não são coplanares. Vamos usar cálculo vetorial: produto escalar para perpendicularidade, norma para comprimento e produto misto para coplanaridade.

Passo 2

Seja
C=(2s,,3s+1,,s+1)in r1
Então
AC = C - A =l(2s - a,;3s+1-2a,;s+1-ar)
A reta r2 tem vetor diretor
d2=(2,1,-1)
Perpendicularidade exige
ACcdotd2=0 ;Longrightarrow; 2(2s-a)+(3s+1-2a)-(s+1-a)=0
Isso simplifica para
6s-3a=0 ;Longrightarrow; s=a2

Passo 3

Substituindo s=a/2 em AC obtemos
AC =l(0,;3cdottfraca2+1-2a,;tfraca2+1-ar) =l(0,;1-tfraca2,;1-tfraca2r)
Impor |AC|=raiz2
l(1-tfraca2r)^2+l(1-tfraca2r)^2=2 Longrightarrow 2l(1-tfraca2r)^2=2 Longrightarrow l(1-tfraca2r)^2=1
As soluções são 1-tfraca2=pm1. A escolha 1-tfraca2=1 leva a a=0 (descartado), e 1-tfraca2=-1 leva a
a=4

Passo 4

Com a=4 obtemos s=2 e
C=(2cdot2,;3cdot2+1,;2+1)=(4,7,3), AC=(0,-1,-1),
cuja norma é raiz0+1+1=raiz2 e é perpendicular a d2.

Passo 5

Para mostrar que A,C e a reta r2 não são coplanares, basta ver que o produto misto
ACcdotl(APtimesd2r)
é não nulo, onde P é um ponto de r2, por exemplo P=(1,2,2) em t=0. Calcula-se
AP=(1-4,,2-8,,2-4)=(-3,-6,-2), AC=(0,-1,-1), d2=(2,1,-1)
Fazendo o produto vetorial e em seguida o escalar, obtém-se -2neq0. Logo não são coplanares.

Resposta

a=4 e C=(4,7,3).

Exercícios relacionados