8 Considere o plano pi : a x+b y+c z=d, onde a, b, c, d são constantes reais e o vetor (a, b, c) é não nulo. Seja P0=(x0, y0, z0) um ponto fixado de R^3 (que não pertence ao plano). Determine o ponto do plano pi à distância mínima do ponto P0, e o valor desta distância mínima.

Passo 1

O enunciado dá o plano picolon a x + b y + c z = d com (a,b,c)neq(0,0,0) e o ponto P0=(x0,y0,z0)notinpi. Queremos achar o ponto de pi mais próximo de P0 (pé da perpendicular) e a distância mínima. Para isso usamos projeção ortogonal de P0 no plano.

Passo 2

O vetor normal ao plano é n=(a,b,c). A reta que passa por P0 na direção de n é dada por
P(t)=l(x0,y0,z0r)+t,(a,b,c)

Passo 3

Impondo P(t)inpi, substituímos na equação do plano:
a(x0+a,t)+b(y0+b,t)+c(z0+c,t)=d
Isto é
a x0+b y0+c z0+(a^2+b^2+c^2),t=d,
de onde
t=d-l(a x0+b y0+c z0r)a^2+b^2+c^2

Passo 4

O pé da perpendicular P^* é P(t) com esse valor de t, ou seja
P^* = l(x0+a,t,;y0+b,t,;z0+c,tr)

Passo 5

A distância mínima é o comprimento do segmento P0P^*, que vale |t|;|n|. Assim
distmin =|t|raiza^2+b^2+c^2 = l|d-(a x0+b y0+c z0)r|raiza^2+b^2+c^2

Resposta

P^*=l(x0+a,d-(a x0+b y0+c z0)a^2+b^2+c^2,;y0+b,d-(a x0+b y0+c z0)a^2+b^2+c^2,;z0+c,d-(a x0+b y0+c z0)a^2+b^2+c^2r), distância mínima l|d-(a x0+b y0+c z0)r|raiza^2+b^2+c^2.

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