Considere o plano
pi: 2 x+z-9=0
Qual das retas abaixo não está contida neste plano?
d) r: X=(2,-2,5)+lambda(1,6,-2), lambda in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um plano dado pela equação e precisamos descobrir qual das retas apresentadas não está nesse plano. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço 3D. O que vamos precisar é verificar se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano. Se sim, a reta está no plano; se não, ela não está.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta que estamos analisando:
r: X = (2, -2, 5) + lambda (1, 6, -2), lambda in R
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta. Nosso objetivo é verificar se todos os pontos dessa reta satisfazem a equação do plano .

Passo 3

Para fazer isso, vamos substituir as coordenadas de um ponto genérico da reta na equação do plano. O ponto genérico da reta é x = 2 + lambda , ou seja:
y = -2 + 6lambda
z = 5 - 2lambda
2(2 + lambda) + (5 - 2lambda) - 9 = 0
Agora, substituímos e na equação do plano:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
2 cdot 2 + 2 cdot lambda + 5 - 2lambda - 9 = 0
4 + 2lambda + 5 - 2lambda - 9 = 0
Agora, somando os termos semelhantes:
(4 + 5 - 9) + (2lambda - 2lambda) = 0
0 + 0 = 0
0 = 0
Acontece que a equação se simplifica para , que é sempre verdadeira, independente do valor de .

Resposta

Como a equação se satisfaz para todos os valores de , a reta está contida no plano . Portanto, essa reta está no plano.

Exercícios relacionados