Encontre todas as soluções do sistema:
l x+3 y+2 z+3 w-7 p=14 2 x+6 y+z-2 w+5 p=-2 x+3 y-z+2 p=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui é um sistema linear com cinco variáveis: , , , e . Nosso objetivo é encontrar todas as soluções que satisfazem as três equações dadas. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrarmos as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a visualização e a aplicação das operações de linha. A matriz aumentada fica assim:
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 2 & 6 & 1 & -2 & 5 & | & -2 1 & 3 & -1 & 0 & 2 & | & -1

Passo 3

Agora, vamos usar a primeira linha para eliminar o 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & | & -30 0 & 0 & -3 & -3 & 9 & | & -15 das outras duas linhas. Para isso, fazemos:
  • Linha 2: Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtraímos a Linha 1 da Linha 3.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:

Passo 4

Observamos que a Linha 2 e a Linha 3 têm coeficientes semelhantes. Vamos agora eliminar o 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & | & -30 0 & 0 & 0 & 5 & -10 & | & 15 da Linha 3 usando a Linha 2. Para isso, subtraímos a Linha 2 da Linha 3:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a Linha 3 dividindo todos os termos por 5 para facilitar:
1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & | & -30 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & | & 3
Isso nos dá uma equação mais simples para trabalhar.

Passo 6

Vamos resolver a partir da Linha 3. A equação correspondente é:
w - 2p = 3
Podemos expressar w = 3 + 2p em termos de :
Então, será uma variável livre, ou seja, pode assumir qualquer valor.

Passo 7

Substituímos -3z -8w +19p = -30 na Linha 2. A equação da Linha 2 é:
-3z -8(3 + 2p) +19p = -30 -3z -24 -16p +19p = -30 -3z +3p = -6
Substituindo -3z = -6 -3p z = 2 + p :
Agora, resolvemos para :
Então, também depende de .

Passo 8

Agora, vamos substituir x + 3y + 2z + 3w -7p = 14 e x + 3y + 2(2 + p) + 3(3 + 2p) -7p = 14 x + 3y +4 +2p +9 +6p -7p = 14 x + 3y +13 +p = 14 na Linha 1. A equação da Linha 1 é:
x + 3y + p = 1 x = 1 -3y -p
Substituindo:
Resolvendo para :
Então, depende de e .

Passo 9

Até agora, temos as seguintes expressões:
x = 1 -3y -p z = 2 + p w = 3 + 2p
Aqui, percebemos que e são variáveis livres, ou seja, podem assumir quaisquer valores. Podemos atribuir parâmetros a elas, por exemplo, e , onde e são números reais.

Passo 10

Finalmente, escrevemos as soluções do sistema em termos dos parâmetros x = 1 -3t -s y = t z = 2 + s w = 3 + 2s p = s e :

Resposta

Todas as soluções do sistema são dadas por:
x = 1 -3t -s y = t z = 2 + s w = 3 + 2s p = s
onde e são números reais quaisquer.

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