Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui é um sistema linear com cinco variáveis: , , , e . Nosso objetivo é encontrar todas as soluções que satisfazem as três equações dadas. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrarmos as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a visualização e a aplicação das operações de linha. A matriz aumentada fica assim:
Agora, vamos usar a primeira linha para eliminar o 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & | & -30 0 & 0 & -3 & -3 & 9 & | & -15 das outras duas linhas. Para isso, fazemos:
Linha 2: Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
Linha 3: Subtraímos a Linha 1 da Linha 3.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
Passo 4
Observamos que a Linha 2 e a Linha 3 têm coeficientes semelhantes. Vamos agora eliminar o 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & | & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & | & -30 0 & 0 & 0 & 5 & -10 & | & 15 da Linha 3 usando a Linha 2. Para isso, subtraímos a Linha 2 da Linha 3:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a Linha 3 dividindo todos os termos por 5 para facilitar:
Agora, vamos substituir x + 3y + 2z + 3w -7p = 14 e x + 3y + 2(2 + p) + 3(3 + 2p) -7p = 14 x + 3y +4 +2p +9 +6p -7p = 14 x + 3y +13 +p = 14 na Linha 1. A equação da Linha 1 é:
x + 3y + p = 1 x = 1 -3y -p
Substituindo:
Resolvendo para :
Então, depende de e .
Passo 9
Até agora, temos as seguintes expressões:
x = 1 -3y -p z = 2 + p w = 3 + 2p
Aqui, percebemos que e são variáveis livres, ou seja, podem assumir quaisquer valores. Podemos atribuir parâmetros a elas, por exemplo, e , onde e são números reais.
Passo 10
Finalmente, escrevemos as soluções do sistema em termos dos parâmetros x = 1 -3t -s y = t z = 2 + s w = 3 + 2s p = s e :