Considere, no plano, a reta r: a x+b y+c=0. Mostre que
(a) \vec{n}=\langle a, b\rangle é ortogonal a qualquer vetor com pontos inicial e final na reta r
(b) a distância do ponto P\left(x_{0}, y_{0}\right) à reta r é
\frac{\left|a x_{0}+b y_{0}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} .

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:\;a\,x + b\,y + c = 0
no plano e pede duas coisas:
  1. Mostrar que o vetor normal \vec n = \langle a,b\rangle é ortogonal a qualquer vetor que tenha origem e extremidade em pontos de r.
  2. Determinar a distância de um ponto P(x_{0},y_{0}) até r.
Para isso vamos usar a definição de produto escalar (ortogonalidade) e a fórmula da projeção de um vetor sobre o vetor normal.

Passo 2

Sejam A(x_{1},y_{1}) e B(x_{2},y_{2}) pontos quaisquer sobre r. Então
a\,x_{1}+b\,y_{1}+c=0 \quad\text{e}\quad a\,x_{2}+b\,y_{2}+c=0.
O vetor que vai de A a B é
\overrightarrow{AB}=\langle x_{2}-x_{1},\;y_{2}-y_{1}\rangle.
O produto escalar de \vec n=\langle a,b\rangle com \overrightarrow{AB} é
\vec n\cdot\overrightarrow{AB} = a\,(x_{2}-x_{1})+b\,(y_{2}-y_{1}) = \bigl(a\,x_{2}+b\,y_{2}+c\bigr)\;-\;\bigl(a\,x_{1}+b\,y_{1}+c\bigr) = 0.
Como o produto escalar é zero, concluímos que \vec n é ortogonal a \overrightarrow{AB}. Isso vale para quaisquer A,B\in r.

Passo 3

Para a distância, considere P(x_{0},y_{0}) e escolha um ponto Q qualquer em r. O vetor \overrightarrow{PQ} = Q - P satisfaz
n\cdot(Q-P) = \bigl(a\,x_{Q}+b\,y_{Q}+c\bigr)\;-\;(a\,x_{0}+b\,y_{0}+c) = -\bigl(a\,x_{0}+b\,y_{0}+c\bigr),
pois a\,x_{Q}+b\,y_{Q}+c=0. A componente de \overrightarrow{PQ} na direção normal d=\frac{\vec n}{\|\vec n\|} tem comprimento
\bigl|d\cdot\overrightarrow{PQ}\bigr| = \frac{1}{\|\vec n\|}\,\bigl|n\cdot(Q-P)\bigr| = \frac{\bigl|a\,x_{0}+b\,y_{0}+c\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Essa componente é justamente a menor distância de P até a reta.

Resposta

(a) \vec n=\langle a,b\rangle é ortogonal a qualquer vetor com extremidades em pontos de r porque o produto escalar dá zero.
(b) A distância de P(x_{0},y_{0}) até r é
\frac{\bigl|a\,x_{0}+b\,y_{0}+c\bigr|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

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